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Mostrando postagens de Janeiro, 2011

Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Lista de Exercícios Preparatória para o Profmat

A um vendedor foi fixada uma meta de fazer um certo número de abordagens e também uma meta de sucesso de venda de 60% das abordagens. Quando havia realizado 75% das abordagens, o vendedor contabilizou um sucesso de 56% sobre as abordagens já realizadas, e percebeu que deveria aumentar sua porcentagem de sucessos nos 25% restantes para conseguir atingir a meta. Quanto deve ser o percentual de sucessos sobre o restante das abordagens para que ele consiga atingir a meta de sucesso fixada inicialmente?
(A) 100 % (B) 90 % (C) 80 % (D) 72% (E) 64 %
Solução: (D)
Seja n a meta das abordagens. A meta de sucesso das abordagens é de 60%, ou seja:
60% de n = (60/100) . n = (3/5) . n
Se já foi feita 75% da meta, temos:
75% de n = (75/100) . n = (3/4) . n
Deste total 56% são abordagens de sucesso:
56% de [(3/4) . n] = (56/100) . (3/4) . n = (14/25) . (3/4) . n = (21/50) . n
Portanto, a quantidade de sucessos que falta é:
(3/5) . n – (21/50) . n = (9/50) . n
Ainda faltam 25% das abordagens para completar a meta de…

Lista de Exercícios Preparatória para o Profmat

Um cientista tirou duas medidas das grandezas x e y, obtendo os pares (x1, y1) = (3, 1) e (x2, y2) = (4, 3). Pela teoria, essas grandezas deveriam ser proporcionais, isto é, deveria existir “a” tal que y = a . x , mas isso não ocorreu no experimento. Como ele acha que foi por causa dos erros experimentais, então achou “a” que dá o menor valor possível para (y1 – a . x1)2 + (y2 – a . x2)2. O valor de a que o cientista encontrou foi:
(A) 3 / 5 (B) 2 / 3 (C) 2 / 5 (D) 3 / 4 (E) 4 / 7
Solução: (A)
(y1 – a . x1)2 + (y2 – a . x2)2 = (1 – a . 3)2 + (3 – a . 4)2 =
= (1 – 6 . a + 9 . a2) + (9 – 24 . a + 16 . a2) = 1 – 6 . a + 9 . a2 + 9 – 24 . a + 16 . a2 =
= 10 – 30 . a + 25 . a2 = 2 – 6 . a + 5 . a2
Temos uma equação do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola, e como a > 0, a concavidade desta parábola é voltada para cima. Como a esta multiplicando x1 e x2, devemos calcular o x no vértice, pois neste local temos o valor mínimo desta equação:
xv = – b / (2 . a) = – (– 6) / (2 . 5) = 6 / 10 = 3 / 5
Disp…

Lista de Exercícios Preparatória para o Profmat

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Uma broca de raio r = 2 perfura um cone circular reto de altura H = 12 e raio R = 6 ao longo de seu eixo central. O resultado é um tronco de cone perfurado conforme ilustrado acima. O volume do buraco cilíndrico é então:
(A) 16 π (B) 20 π (C) 24 π (D) 28 π (E) 32 π
Solução: (E)
O primeiro passo é calcular a altura do tronco cônico resultante do processo de perfuração da broca.
Pela Figura 1, podemos calcular a altura do cone pela Semelhança de Triângulos:
12 / x = 6 / 2
12 / x = 3
x = 4
Assim a altura do tronco cônico é: 12 – 4 = 8. Calculando o volume do cilindro:
Vcilindro = π . r2 . h = π . 22 . 8 = 32 . π
Disponível em <http://www.profmat-sbm.org.br/default.asp>. Acessado em: 27 de janeiro de 2.011.

Lista de Exercícios Preparatória para o Profmat

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Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti-horário, de um hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com as seguintes restrições: a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas, b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor. De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são distintas se algum dos vértices numerados foi pintado com cores diferentes).
(A) 12 (B) 24 (C) 30 (D) 60 (E) 72
Solução: (B)
Seguindo as restrições temos:

Para o vértices 1 temos 4 possibilidades de cores; Para o vértices 2 temos 3 possibilidades de cores; Para o vértices 3 temos 2 possibilidades de cores; Para o vértices 4 temos 1 possiblidade, pois é oposto ao vértices 1; Para o vértices 5 temos 1 possiblidade, pois é oposto ao vértices 2; Para o vértices 6 temos 1 possiblidade, pois é oposto ao vértices 3;
Assim, as maneiras distintas de realizar a pintura do hexágono regular é:
4 . 3 . 2 . 1 . 1 . 1 = 24
Disponível em <http://www.profmat-sbm.org.br/default.asp>. Acess…

Lista de Exercícios Preparatória para o Profmat

Maria se exercita regularmente em sua bicicleta, por 30 minutos. Sua meta, em cada sessão, é gastar, no mínimo, 420 kcal. Depois de se exercitar por 20 minutos, ela observa no mostrador que já gastou 240 kcal. Para cumprir seu objetivo, ela deve aumentar a intensidade do exercício nos próximos 10 minutos de maneira a aumentar o dispêndio de calorias por minutos em relação à média dos primeiros 20 minutos em:
(A) 25% (B) 30% (C) 50% (D) 60% (E) 80%
Solução: (C)
Calculando a taxa de calorias que Maria consumiu nos 20 min de exercício temos:
240 kcal / 20 min = 12 kcal/min
Se Maria consumiu 240 kcal ainda lhe resta gastar: 420 kcal – 240 kcal = 180 kcal, assim a taxa de consumo de caloria nos 10 min finais na sessão de exercícios, é:
180 kcal / 10 min = 18 kcal/min
Assim é necessário que aumente a taxa de consumo em 6 kcal/min.

kcal % 12 100 6 x
12 / 6 = 100 / x
12 . x = 100 . 6
x = (100 . 6) / 12 = 50%
Disponível em <http://www.profmat-sbm.org.br/default.asp>. Acessado em: 27 de janeiro de 2.011.

Resolução de Questão de Concurso Público

Concurso:Processo Seletivo para Contratação de Bolsista Estagiário Ano: 2.011 Orgão: Prefeitura Municipal de Assis Instituição: Secretaria Municipal da Educação de Assis Questão: 36 ~ 40

36. Uma piscina custa R$ 42.000,00. Como vou pagá-la no prazo de 5 meses, a firma cobrará juros simples de 5% ao mês. Então vou pagar por ela:
(A) 42.500,00 (B) 46.000,00 (C) 48.000,00 (D) 50.500,00 (E) 52.500,00
Solução: (E)
O total a ser pago (m) é a soma do custo à vista (c) e do juro cobrado (j). O juro simples é dado pela fórmula:
j = c . i . n
Onde i é a taxa de juros (em decimal) e n o período (prazo) de pagamento.
O total a ser pago é:
m = c + j = c + ( c . i . n) = c (1 + i . n) = 42000 (1 + 0,05 . 5 ) = 42000 (1 + 0,25) =
= 42000 (1,25) = 52500
O custo da piscina será de R$ 52.500,00.

37. Se 6 marceneiros realizam um trabalho em 24 dias, 3 marceneiros a mais, nas mesmas condições, em quanto tempo o realizarão?
(A) 08 dias (B) 12 dias (C) 16 dias (D) 24 dias (E) 36 dias
Solução: (C)
Este é um problema de porcentagem …

Resolução de Questão de Concurso Público

Concurso: Processo Seletivo para Contratação de Bolsista Estagiário Ano: 2.011 Orgão: Prefeitura Municipal de Assis Instituição: Secretaria Municipal da Educação de Assis Questão: 31 ~ 35

31. Um ônibus percorre 300 km em 4 horas. Quanto tempo gastará para percorrer 450 km, se aumentar a velocidade em 1/5?
(A) 4 horas (B) 4 h 30 min (C) 5 h 30 min (D) 5 h 10 min (E) 5 horas
Solução: (E)
A velocidade (v) é a razão entre o espaço percorrido pelo tempo gasto. Para percorrer 300 km em 4 horas o ônibus a velocidade do ônibus é:
v = 300 km / 4 horas = 75 km/h
Se o motorista aumenta esta velocidade em 1/5, temos:
75 km + (1/5) . 75 km = 75 km + 15 km = 90 km
Para calcular o tempo realizamos a razão entre a distância percorrida pela velocidade, então o tempo (t) gasto para percorrer 450 km a uma velocidade de 90 km/h, é:
t = 450 km / 90 km/h = 5 horas

32. Na saída de um estádio de futebol, 50 pessoas foram pesquisadas para dar a sua opinião sobre o jogo. Verificou-se que 32% dessas pessoas não gostaram do jogo.…

Resolução de Questão de Concurso Público

Concurso: Escrevente Técnico Judiciário Ano: 2.010 Orgão: Tribunal de Justiça do Estado de São Paulo Instituição: Fundação Vunesp Questão: 76
As 360 páginas de um processo estão acondicionadas nas pastas A e B, na razão de 2 para 3, nessa ordem. O número de páginas que devem ser retiradas da pasta B e colocadas na pasta A, para que ambas fiquem com o mesmo número de páginas, representa, do total de páginas desse processo,
(A) 1/4 (B) 1/5 (C) 1/6 (D) 1/8 (E) 1/10
Solução: (E)
No problema é dada a proporção entre as folhas da pasta A e da pasta B.
A : 2 :: B : 3 (a pasta A está para 2 assim como pasta B está para 3)
A / B = 2 / 3
A + B = 360, então, B = 360 – A.
A / (360 – A) = 2 / 3
3 . A = 2 . (360 – A)
3 , A = 720 – 2 . A
5 . A = 720
A = 144
B = 360 – A = 360 – 144 = 216
Se retirarmos n páginas da pasta B e as colocarmos na pasta A, ambas as pastas ficarão com a mesma quantidade de páginas:
B – n = A + n
216 – n = 144 + n
72 = 2 . n
36 = n
A fração que representa o total de páginas que representa este p…

Resolução de Questão de Concurso Público

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Resolução de Questão de Concurso Público

Concurso: Escrevente Técnico Judiciário Ano: 2.010 Orgão: Tribunal de Justiça do Estado de São Paulo Instituição: Fundação Vunesp Questão: 74
Considere dois níveis salariais apontados em uma pesquisa de mercado para um mesmo cargo, o mínimo (piso) e o máximo (teto). Sabe-se que o dobro do menor somado a 1/5 do maior é igual a R$ 3.700,00. Se a diferença entre o nível máximo e o nível mínimo é igual a R$ 3.100,00, então o teto salarial para esse cargo é de:
(A) R$ 4.800,00 (B) R$ 4.500,00 (C) R$ 3.800,00 (D) R$ 3.600,00 (E) R$ 3.400,00
Solução:  (B)
Seja p o valor mínimo e t o valor máximo.
Escrevendo matematicamente “o dobro do menor somado a 1/5 do maior é igual a R$ 3.700,00”, temos:
2 p + (1/5) t = 3700                            (I)
Escrevendo matematicamente “a diferença entre o nível máximo e o nível mínimo é igual a R$ 3.100,00”, temos:
t – p = 3100
Isolando p temos:
p = t – 3100                                       (II)
Substituindo (II) em (I), temos:
2 (t – 3100) + (1/5) t = 3700

2 t – 6200 + …

Resolução de Questão de Concurso Público

Concurso: Escrevente Técnico Judiciário Ano: 2.010 Orgão: Tribunal de Justiça do Estado de São Paulo Instituição: Fundação Vunesp Questão: 73
Em um concurso para escrevente, 40% dos candidatos inscritos foram eliminados na prova de Língua Portuguesa, e a prova de Conhecimentos em Direito eliminou 40% dos candidatos restantes. Essas duas provas eliminaram, do total de candidatos inscritos,
(A) 84% (B) 80% (C) 64% (D) 46% (E) 36%
Solução: (C)
Seja n o número inicial de candidatos.
A prova de Língua Portuguesa eliminou 40% dos alunos, então:
n – 40% n = n – (40/100) n = n – (2/5) n = (3/5) n
Foram aprovados 3/5 dos alunos. A prova de Conhecimentos eliminou 40% destes candidatos, então:
(3/5) n – 40% (3/5) n = (3/5) n = (40/100) (3/5) n = (3/5) n – (2/5) (3/5) n = = (3/5) n – (6/25) n = (9/25) n
Temos que 9/5 do total inicial dos candidatos passaram nas duas avaliações, ou seja:
(9/5) n = 0,36 n = 36% n
Se 36% dos candidatos passaram nas provas, então 64% foram eliminados.
Trabalhando com números decimais…

Exercício Complicado

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São muitos que conhecem o quadro “Exercício Complicado” (ano de 1895), de Bogdánov-Belski, mas muito pouco estão conscientes do conteúdo do exercício apresentado na pintura. Se trata em resolver o rápida e mentalmente o seguinte exercício:

(10² + 11² + 12² + 13² + 14²) / 365
Este exercício a primeira vista parece dificil. Na figura o mestre pintor reproduziu S. Rachinski, professor de ciências naturais, que deixou a presidência de uma universidade para se tornar um simples professor rural. O professor em sua escola inteligentemente cultivava o cálculo mental, com base na habilidade de usar as propriedades dos números. Os números 10, 11, 12, 13 e 14 tem uma curiosa propriedade:

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

100 + 121 + 144 = 169 + 196 = 365
Com esta observação a resposta é imediata. Uma vez sabendo esta propriedade o exercício deixa de ser complicado, e o resultado é:

( 10² + 11² + 12² + 13² + 14² ) / 365

( 365 + 365 ) / 365
Portanto o resultado é 2. A álgebra permite agora comprovar…

Latex Editor (Equações Matemáticas)

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