Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas. A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas. O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações. Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra , Geometria Analítica , Funções e Trigonometria . Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas. Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sem

Pós-Graduação de Ensino de Ciências Exatas (UFSCAR - 2.008)


Concurso: Programa de Pós-Graduação de Ensino de Ciências Exatas – Exame de Ingresso – 1ª Etapa.
Ano: 2.008
Instituição: UFSCAR
Questão: 1

Utilizando os triângulos isósceles da figura abaixo mostre que:



(a) x = (√5 – 1) / 2

(b) cos 72º = (√5 – 1) / 4


Solução:

(a)
 
Indicando os vértices no triângulo temos o triângulo ABC e o triângulo CBD.




No triângulo CBD, o ângulo D mede 72º. Observe que o ∆ABC é semelhante ao ∆CBD :
 
ABC
CBD



ângulo A ≡ ângulo C


ângulo C ≡ ângulo D
ABC ~ ∆CBD
ângulo B é ângulo comum







Assim temos: 

(AB / BC) = (CB / BD)

(1 / x) = [x / (1 – x)]

x . x = 1 . (1 – x)

x2 = 1 – x

x2 + x – 1 = 0

Determinando as raízes desta equação do segundo grau, obtemos:

x1 = (– 1 + √5) / 2

x2 = (– 1 – √5) / 2

Não utilizamos valores negativos para determinar medidas, portanto:

x = (– 1 + √5) / 2 = (√5 – 1) / 2

(b)

Indicando os vértices no triângulo temos o triângulo ABC.




Traçamos um segmento ligando o vértice A ao ponto médio do segmento BC obtemos a mediana do vértice A. No triângulo isóscele a mediana coincide com a altura. Com a mediana obtemos dois triângulos retângulos congruente: o triângulo ADB e o triângulo ADC.
 
Considerando o triângulo retângulo ADB, temos:

cos β = cateto adjacente / hipotenusa

cos 72º =  (x / 2) / 1 = x / 2

Sendo x = (√5 – 1) / 2 :

cos 72º =  [(√5 – 1) / 2] / 2 = (√5 – 1) / 4

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