Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

Imagem
Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas. A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas. O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações. Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra , Geometria Analítica , Funções e Trigonometria . Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas. Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sem

Pós-Graduação de Ensino de Ciências Exatas (UFSCAR - 2.008)

Concurso: Programa de Pós-Graduação de Ensino de Ciências Exatas – Exame de Ingresso – 1ª Etapa.
Ano: 2.008
Instituição: UFSCAR
Questão: 2

O problema 14 do Papiro Matemático de Moscou constitui-se no cálculo do volume de um tronco de pirâmide. Um tronco de pirâmide é o sólido resultante do corte de uma pirâmide por um plano paralelo à sua base retirando-se a pirâmide menor obtida por este corte. Se o tronco de pirâmide tem uma base quadrada de lado a, um topo quadrado de lado b, e sua altura é h, então, como perceberam os egípcios antigos, o volume do tronco de pirâmide é:

(h / 3) . (a2 + a . b + b2)

Usando o fato que o volume de uma pirâmide é (1 / 3) x área da base x altura, mostre que a fórmula egípcia para o volume do tronco de pirâmide está correta.

Solução:

Observe a figura:



Para verificar se a fórmula egípcia está correta temos que:

  • H é a altura da pirâmide original;
  • h' é a altura da pirâmide retirada para formar o tronco de pirâmide;
  • h é a altura do tronco de pirâmide;
  • a é a medida do lado da base do tronco de pirâmide;
  • b é a medida do lado do topo da pirâmide;
  • V é o volume da pirâmide original;
  • v' é o volume da pirâmide retirada para formar o tronco de pirâmide, e;
  •  v é o volume do tronco de pirâmide.

Partindo destes dados, temos:

v = V – v’

h = H – h’ → H = h + h’

A área da base da pirâmide original é igual a a2, e a área da base da pirâmide retirada é igual a b2.

V = (1 / 3) . a2 . H = (1 / 3) . a2 . (h + h’)

v’ = (1 / 3) . b2 . h’

v = V – v’ = (1 / 3) . a2 . (h + h’) – (1 / 3) . b2 . h’ =

= (1 / 3) . [(a2 . h) + (a2 . h’) – (b2 . h’)] = (1 / 3) . {(a2 . h) + [(a2 – b2 ). h’]}

v = (1 / 3) . {(a2 . h) + [(a2 – b2 ). h’]}

A pirâmide original e a pirâmide retirada são semelhantes, então tem os ângulos ordenadamente congruentes e as arestas das bases, arestas laterais, altura e demais elementos homólogos são proporcionais.

Calculando h’:

Sendo a altura da pirâmide original e da pirâmide retirada, proporcionais, calculamos a razão de proporcionalidade (k):

k = (H / h’)

A razão entre as áreas das bases é igual ao quadrado da razão de semelhança.

(a2 / b2) = k2 = (H / h’)2

(a2 / b2) = (H / h’)2 → √(a2 / b2) = (H / h’) → (a / b) = (H / h’)

a . h’ = H . b → a . h’ = (h + h’) . b → a . h’ = b . h + b . h’

a . h’ – b . h’ = b . h

h’ . (a – b) = b . h

h’ = (b . h) / (a – b)

Substituindo h’ em v, temos:

v = (1 / 3) . {(a2 . h) + [(a2 – b2) . h’]} =

= (1 / 3) . {(a2 . h) + [(a – b) . (a + b) . [(b . h) / (a – b)]]} =

= (1 / 3) . {(a2 . h) + [(a + b). (b . h)]} =

= (1 / 3) . {(a2 . h) + [(a . b + b2). h]} =

= (1 / 3) . {h . (a2 + a . b + b2)} = (h / 3) . (a2 + a . b + b2)

Para saber mais, consulte:

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar – volume 10 – geometria espacial: posição e métrica. 5.ed. São Paulo: Atual, 1993. p.268-278

Comentários

Latex Editor (Equações Matemáticas)

Postagens mais visitadas deste blog

Adição ou Subtração de 2 Frações: o Método da Borboleta

Origami Modular: Hexaedro Regular

Sistema de Equações Ilustradas

Seguidores