Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas. A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas. O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações. Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra , Geometria Analítica , Funções e Trigonometria . Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas. Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sem

As Expressões Iguais a 100

O número cem, de largo emprego na linguagem popular, aparece, também, em muitas recreações matemáticas. As curiosidades numéricas, que envolvem o número cem, sugerem problemas que despertam muito interesse entre os que estudam e cultivam a matemática.

Os matemáticos que se interessam pelas curiosidades numéricas, dispensam notória atenção ao número 100.
Em Aritmética Recreativa vamos encontrar dezenas de problemas relacionados com o número cem, com certos divisores de 100, com potências de 100, com o indicador de 100, etc.
Citaremos, para servir de exemplo, três problemas já resolvidos e discutidos pelos apreciadores de enigmas aritméticos.

1 – Escrever com quatro noves uma expressão igual a 100;

2 – Escrever com quatro cincos uma expressão igual a 100;

3 – Escrever com quatro quatros uma expressão igual a 100.

As soluções para estes três problemas são:

99 + (9 / 9)

(5 + 5) . (5 + 5)

(4! . 4) + √ (4 . 4)

O matemático não satisfeito volta a insistir sobre o caso:
– Poderá você, com cinco algarismos iguais a três (empregando os sinais de operação usuais) escrever uma expressão igual a 100?
A solução para o caso, não oferece qualquer dificuldade:

(3 . 33) + 3

Em seu número de agosto de 1.935, a revista belga Sphinx estampou interessante artigo, de G. Fistie, no qual esse matemático expunha e comentava as “cem maneiras de escrever o número 100”, sob a forma de expressões constituídas pelos nove algarismos significativos, figurando, na mesma expressão, cada algarismo uma única vez.
Citemos um exemplo, colhido ao acaso, no meio dos cem:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 . 9

O valor dessa expressão é 100, e nela figuram os noves algarismos significativos, e (convém insistir), cada um deles só aparece uma vez.
A solução, para ser legitima, precisa atender às seguintes condições:

1 – devem figurar, na expressão, os noves algarismos significativos sendo, cada um deles, empregados uma só vez;

2 – a expressão não devem conter denominadores, nem radicais;
3 – os algarismos devem aparecem, na expressão, em ordem crescente de seus valores.

O matemático Perelman apresentou em sua Recreational Arithmetic, inúmeros exemplos, dos quais destacamos os seguintes:

1 + 2 . 3 + 4 . 5 – 6 + 7 + 8 . 9

1 . 2 + 34 + 56 + 7 – 8 + 9

12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 89

123 + 45 – 67 + 8 – 9

123 – 45 – 67 + 89

Seguindo a mesma trilha de Perelman tentamos resolver o problema, e encontramos a seguinte solução que nos pareceu válida e bem curiosa:

(1 + 2 – 3 – 4) . ( 5 – 6 – 7 – 8 – 9)

O primeiro fator é – 4 (negativo); o segundo fator, também negativo, é – 25. O produto é, portanto, positivo e igual a 100.
Os solucionistas admitem, como legitima, a seguinte solução na qual figuram termos negativos, fatores e um expoente:

– 1 + 23 – (4 . 5) + (6 + 7) . 8 + 9

Podemos, sem dificuldades, construir uma centenal perfeita com dois fatores e termos isolados:

(1 + 2 + 3 + 4) . (5 + 6) + 7 – 8 – 9

Uma das mais curiosas seria a seguinte:

1! + 2! + 3 + 4! + 5 . (6 + 7 – 8 + 9)

que apresenta três fatoriais e um produto.
Empregando-se apenas um fatorial e termos negativos:

1 – 2 – 3 + 4! . 5 – 6 + 7 – 8 – 9

Com o primeiro termo negativo e todos os outros positivos, podemos escrever:

– 123 + 4 + 5! + 6 . (7 + 8) + 9

É licito formar ainda uma expressão perfeita com emprego de expoente tendo o primeiro termo negativo. Aqui esta um exemplo:

– 1 . 2 + 34 + 5 + 6 – 7 + 8 + 9

O artigo de G. Fistie, para aqueles que cultivam as curiosidades matemáticas, é interessante. É possível, porém, ampliá-lo e estudar “as cem mil maneiras de escrever o número 100”.
Realmente. Para que ficar nas cem, se há, certamente, mais de cem mil?
Com um pouco de paciência, chegaríamos até lá.


111 – 11
(A)
(2 . 2 . 2 +2)2
(B)
[2 . (2 + 2)! + 2] . 2
(C)



5! + 5 – 5 . 5
(D)
{6! – [6 – (6 / 6)]!} / 6
(E)
88 + 8 + √(8 + 8)
(F)


Acima vemos várias maneiras de escrever 100, empregando um número mínimo de algarismo iguais.
É claro que além dos algarismos iguais, ligados por sinais de operação, não poderá, a expressão indicada, conter nenhum outro algarismo ou letra.
Observem os exemplos bem curiosos:

(A) Expressão igual a 100 com cinco uns;

(B) Expressão igual a 100 com cinco dois;

(C) Expressão igual a 100 com cinco dois;

(D) Expressão igual a 100 com quatro cincos;

(E) Expressão igual a 100 com cinco seis;

(F) Expressão igual a 100 com cinco oito.

Surge o problema: seria possível escrever uma expressão igual a 100 com cinco setes?
Ou ainda: qual é o numero mínimo de setes com que podemos escrever uma expressão igual a 100? A notação americana, adotada para os números decimais (substituindo o zero vírgula por um ponto) permite escrever 100 com quatro setes. Muitos solucionistas desaprovam esse artificio.

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