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Mostrando postagens de Novembro, 2012

Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 46 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de educação Básica II

Em um concurso com 100 questões de múltipla escolha, havia questões de Matemática, de Língua Portuguesa e de Atualidades. Pela especificidade do cargo concorrido, a cada questão correta de Matemática eram atribuídos 3 pontos; a cada questão correta de Língua Portuguesa eram atribuídos 2 pontos e a cada questão correta de Atualidades era atribuído 1 ponto.
Sabendo-se que a pontuação correspondente ao acerto de todas as questões de Matemática e de Língua Portuguesa é 200 e que a pontuação correspondente ao acerto de todas as questões de Língua Portuguesa e de Atualidades é 100, conclui-se, corretamente, que:
(A) existe a mesma quantidade de questões de Língua Portuguesa e de Atualidades. (B) o número de questões de Matemática supera em 10 unidades o de Língua Portuguesa. (C) existe a mesma quantidade de questões de Atualidades e de Matemática. (D) o número de questões de Língua Portuguesa supera em 10 unidades o de Atualidades. (E) existe a mesma quantidade de questões de Matemática e de Líng…

Questão 45 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

Supondo x o preço pago por João Pedro em cada produto, as afirmações apresentadas a seguir estão associadas às “traduções” dos alunos Antônio, Marcos e Hugo do seguinte problema:

João Pedro comprou 200 unidades de um produto para revender. Ao vender todas as 200 unidades com lucro unitário de R$ 5,00, João Pedro teve um lucro total equivalente à metade do que gastou na compra das 200 unidades do produto vendido. Qual o preço pago por João Pedro em cada unidade do produto?

Antônio: 200 ∙ (x + 5) – 200 ∙ x = (200 ∙ x) / 2
Marcos: 200 ∙ (x + 5) = (200 ∙ x) / 2
Hugo: 1000 = 100x
São corretas, apenas, as “traduções” de
(A) Antônio e Marcos. (B) Antônio e Hugo. (C) Marcos e Hugo. (D) Antônio. (E) Hugo.
Solução: (B)
Sabemos que o preço de venda (V) = preço de compra (C) + lucro (L), então:
V = C + L → L = V – C
Pelo problema temos que C = 200 ∙ x, que V = 200 ∙ (x + 5) e que L = C / 2 então:
V – C = L
V – C = C / 2
200 ∙ (x + 5) – 200 ∙ x = (200 ∙ x) / 2
Ou podemos determinar o lucro obtido seguindo a igualda…

Questão 44 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de educação Básica II

A equação da reta que passa pelos pontos de coordenadas (–1,–1) e (7,7) é:

(A) 7 ∙ x – y = 0.
(B) – x + 7 ∙ y = 0.
(C) x + y = 0.
(D) 7 ∙ x + 7 = 0.
(E) x – y = 0.

Solução: (E)

Existem vários métodos de solução, entretanto analisando os pontos dados, observamos que y = x, ou seja, x – y = 0, que é a equação da reta que passa pela origem.

Questão 43 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

Mantida a relação existente entre os números da sequência (–2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), é correto afirmar que o seu 100º termo é:

(A) 190.
(B) 192.
(C) 194.
(D) 196.
(E) 198.

Solução: (D)

A sequência é obtida por meio de uma P.A. cujo primeiro termo a1 = –2 e a razão é 2.
an = a1 + (n – 1) ∙ r
Calculando a100:
a100 = –2 + (100 – 1) ∙ 2 = –2 + 198 = 196

Questão 42 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

O valor de log1/2 64 é:
(A) –6. (B) –4. (C) –2. (D) 8. (E) 32.
Solução: (A)
Pela definição de logaritmo temos loga b = x ↔ ax = b.
(1/2)x = 64 → (2–1)x = 26 → 2–x = 26 → –x = 6 → x = –6

Questão 41 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

Seja R a representação do conjunto dos números reais e f : R → R, uma função dada por f (x) = – (1/3)x. O valor de f (2) é:

(A) 9.
(B) – 3/2.
(C) 1/9.
(D)­ – 1/9.
(E) –9.
Solução: (D)
f (x) = – (1/3)x
f (2) = – (1/3)2
f (2) = – (1/9)

Questão 40 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

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O polígono da figura é um eneágono regular. O ponto O é o centro da circunferência que inscreve o polígono.


A medida do ângulo x é igual a:
(A) 40º. (B) 45º. (C) 60º. (D) 70º. (E) 75º.
Solução: (D)
Observe que o ângulo x é a base de um triângulo isósceles, e que o eneágono pode ser dividido em 9 triângulos congruentes iguais aso indicado na figura.
O ângulo oposto a base mede 40º, ou seja, 360º / 9.
Partindo das propriedades de os ângulos internos de um triângulo e do fato dos ângulos da base de um triângulo isósceles serem congruentes, podemos constatar que o valor de x é de 70º.

Questão 39 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

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Considere a parábola:

A ordenada correspondente à abscissa x = 2 é:

(A) y = 3,25.
(B) y = 3,5. (C) y = 4. (D) y = 4,25. (E) y = 4,75.
Solução: (C)
Vamos considerar a forma fatorada da equação do segundo grau.
a ∙ ( x – x1 ) ∙ ( x – x2 )
Pelo gráfico temos as raízes desta equação: 0 e 4, portanto:
a ∙ ( x – 0 ) ∙ ( x – 4 ) = a ∙ ( x ) ∙ ( x – 4 ) = a ∙ ( x2 – 4 ∙ x )
Para determinar o valor de a, o gráfico informa que para x = 1 → y = 3.
3 = a ∙ ( 12 – 4 ∙ 1 ) → –1 = a
–1 ∙ ( x2 – 4 ∙ x ) = –x2 + 4 ∙ x
Portanto para x = 2 → y = 4.

Questão 38 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

Indique, dentre as alternativas, aquela cujo número é mais próximo do valor de sen1º, ou seja, do seno de 1 grau.

(A) – 0,9.
(B) – 0,6.
(C) 0.
(D) 0,6.
(E) 0,9.

Solução: (C)

O valor do seno (x) varia entre – 1 e 1, logo – 1 ≤ sen (x) ≤ 1.

Onde sen (90º) = 1 sen (0º) = 0 e sen (270º) = – 1. 

Partindo deste fato podemos considerar sen (1º) ≈ 0.

Questão 37 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

A respeito da solução da inequação do 2.º grau – x2 + 49 ≤ 0, pode-se concluir que:

(A) qualquer número real a satisfaz.
(B) x ≤ –7 ou x ≥ +7.
(C) –7 ≤ x ≤ 7.
(D) x ≤ ± 7.
(E) x ≥ ± 7.
Solução: (C)
A equação – x2 + 49 ≤ 0 → x2 – 49 ≥ 0 gera duas raízes – 7 e 7. Utilizando o artificio ma.ca.ma (mesmo que a, contrário de a e mesmo que a).

– 7
7
ma ca ma + – +






A solução da inequação são valores negativos, portanto –7 ≤ x ≤ 7.

Questão 36 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

Analise as três afirmações sobre semelhança de polígonos.  I. Dois quadrados são sempre semelhantes.  II. Se os ângulos de dois quadriláteros são respectivamente congruentes, então eles são semelhantes.
III. Se os ângulos de dois losangos são respectivamente congruentes, então eles são semelhantes.
Está correto o que se afirma em:
(A) I, apenas.
(B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.

Solução: (C)
Dizemos que dois polígonos são semelhantes quando eles possuem o mesmo número de lados e se adéquam às seguintes condições: ângulos iguais; lados correspondentes proporcionais; possuem razão de semelhança igual entre dois lados correspondentes.
Durante a razão de semelhança podemos observar as seguintes situações: ampliação: razão entre os lados correspondentes maior que 1; redução: razão entre os lados correspondentes menor que 1.
A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: ângulos correspondentes congruentes e la…

Questão 35 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

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Um professor propôs a seguinte questão, em uma prova, para seus alunos do 1.º ano do Ensino Médio.

Analise a variação das grandezas x e y representada no gráfico a seguir:
A respeito desse gráfico, um aluno fez as seguintes observações:
I. As grandezas envolvidas no gráfico são inversamente proporcionais, pois quando uma grandeza aumenta, a outra diminui e vice-versa. II. A relação entre y e x é uma função decrescente. III. Quando y = 2, o valor de x é 5.
A respeito dessas observações feitas pelo aluno, pode-se concluir que está correto o contido em:
(A) I, II e III. (B) II e III, apenas. (C) I e III, apenas. (D) I e II, apenas. (E) II, apenas.
Solução: (B) I. As grandezas envolvidas no gráfico são inversamente proporcionais, pois quando uma grandeza aumenta, a outra diminui e vice-versa → Falso
O gráfico que relaciona duas grandezas diretamente proporcionais é uma reta inclinada para a direita (crescente), passando pela origem. E o gráfico que relaciona duas grandezas inversamente proporcionais é…

Questão 34 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

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O gráfico a seguir apresenta dados de uma pesquisa realizada em uma empresa, com 200 funcionários, entre homens e mulheres. Entre outras questões, eles informaram o grau de escolaridade: conclusão apenas do Ensino Fundamental ou conclusão do Ensino Médio ou Superior.

Questão 33 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

Analise as três afirmações.

I. A razão entre as medidas da diagonal e do lado de um quadrado é sempre um número irracional.
II. A razão entre as medidas das diagonais de dois quadrados quaisquer é sempre um número irracional.
III. A razão entre dois números irracionais é sempre um número irracional.

Está correto o contido em
(A) I, II e III. (B)  II e III, apenas. (C)  I e III, apenas. (D) I e II, apenas. (E)  I, apenas.
Solução: (E)
Problema mal formulado. Segundo a resposta o item I considera o lado do quadrado como sendo um valor racional.
I. A razão entre as medidas da diagonal e do lado de um quadrado é sempre um número irracional → Verdadeiro
Considerando L, pertencente ao conjunto dos números racionais, o lado do quadrado. Pelo Teorema de Pitágoras a medida D da diagonal deste quadrado é dado por:
D = L • √ 2
Segundo Ivan Níven:
“Seja i um número irracional qualquer e r um número racional diferente de zero. Então, a adição, subtração, multiplicação e divisão de r e i resultam em números irraci…

Questão 32 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

Os alunos Dora, Edson e Fábio encontraram em um livro uma demonstração do teorema de Tales. O texto informava que aquela demonstração era válida apenas quando envolvia segmentos comensuráveis. Eles passaram a discutir sobre os significados das expressões “segmentos comensuráveis” e “segmentos incomensuráveis”.
Dora: Dois segmentos são comensuráveis quando a razão entre suas medidas for um número racional, caso contrário são incomensuráveis.
Edson: Um segmento comensurável é aquele que pode ser medido por meio de um instrumento de medida, caso contrário, diz-se que o segmento é incomensurável.
Fábio: Dois segmentos de reta são comensuráveis se existir um segmento de reta u, por menor que seja, tal que as medidas dos dois segmentos, tomando u como unidade, são números inteiros. Caso contrário, são incomensuráveis.
É correto afirmar que o significado de segmentos comensuráveis:
(A) não é conhecido pelos três alunos. (B) é conhecido por Dora e Edson, apenas. (C) é conhecido por Edson e Fábio, ap…

Questão 31 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

Analise as três afirmações: 

I. O número 0,1954545454... é um número racional. 
II. O número 0,101001000100001... é um número racional. 
III. O número 3/17 é um número irracional, pois tem representação decimal infinita e não periódica. 

Está correto, apenas, o que se afirma em: 

(A) I. 
(B) II. 
(C) III. 
(D) I e II. 
(E) II e III. 

Solução: (A)

I. O número 0,1954545454... é um número racional → Verdadeiro
A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma n / d, onde n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica e d é tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
0,1954545454... parte não periódica 0,19, período 54. Portanto:
0,195454... = (1954 – 19) / 9900 = 1935 / 9900 = 43 / 220
II. O número 0,101001000100001... é um número racional → Falso
0,101001000100001... = 0,1 + 0,001 + 0,000001 + 0,0000000001 + ... =
= 10-1 + 10-3 + 10-6 + 10-10 + ...
Não vemos uma periodicidade nesta sequên…

Latex Editor (Equações Matemáticas)

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