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Mostrando postagens de Fevereiro, 2013

Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Concurso Público – Professor I – Matemática

Concurso: Professor I – Matemática Ano: 2.010 Órgão: Prefeitura Municipal do Rio de Janeiro Instituição: Secretaria Municipal de Educação – SME Questão: 04
Desenvolvendo-se a expressão 460 x 5113, obtém-se um número inteiro n, cuja soma dos algarismos corresponde a:
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12
Solução: (C)
460 ∙ 5113 = (22)60 ∙ 5113 = 2120 ∙ 5113 = 2(7 + 113) ∙ 5113 =
= 27 ∙ 2113 ∙ 5113 = 27 ∙ (2 ∙ 5)113 = 27 ∙ 10113 = 128 ∙ 10113
A potência 10113 não influência no cálculo de n:
n = 1 + 2 + 8 = 11

Concurso Público – Professor I – Matemática

Concurso: Professor I – Matemática Ano: 2.010 Órgão: Prefeitura Municipal do Rio de Janeiro Instituição: Secretaria Municipal de Educação – SME Questão: 03
Uma pedra é lançada para cima e sua altura h, em metros, é dada pela função h(t) = at2 + 12t, em que t é medido em segundos. Se a pedra atingiu a altura máxima no instante t = 2, pode-se afirmar que o valor de h(1), em metros, é:
(A) 9 (B) 8 (C) 6 (D) 5
Solução: (A)
Trata-se de uma função do segundo grau onde determinamos inicialmente o valor de a:
h(t) = at2 + 12 ∙ t
Para ter altura máxima, o valor de a deve ser negativo (o gráfico é parábola com concavidade voltada para baixo), tendo assim um ponto máximo em seu vértice.
Segundo o enunciado quando t = 2 segundos a pedra atinge a altura máxima, então o vértice do gráfico desta função é V (2, h(2)):
xv = –b / (2 ∙ a)
2 = – 12 / (2 ∙ a) → a = – 3
h(t) = – 3 ∙ t2 + 12 ∙ t → h(1) = – 3 ∙ 12 + 12 ∙ 1 = 9 metros

Concurso Público – Professor I – Matemática

Concurso: Professor I – Matemática Ano: 2.010 Órgão: Prefeitura Municipal do Rio de Janeiro Instituição: Secretaria Municipal de Educação – SME Questão: 02
Seja N = 3a.5b.9c , em que a, b e c são números naturais. O número total de divisores positivos de N é igual a:
(A) (a+1).(b+1). (c+1) (B) (a+2c+1).(b+1) (C) a.(b+1).(c+2) (D) a.b.c
Solução: (B)
N = 3a ∙ 5b ∙ 9c = 3a ∙ 5b ∙ 32∙c = 3(a+2∙c) ∙ 5b
Segundo Domingues (1.991, p. 55): “para todo α pertence aoN*, indica-se por  τ (α) o número de divisores de α. Por exemplo: τ (1) = 1, τ (2) = 2, τ (3) = 2, τ (4) = 3 (os divisores de 4 são 1, 2, 4 – três no total). Se p é primo, então τ (p) = 2. Note-se que τ é uma função numérica definida em N*.
Vamos determinar uma fórmula para τ (a), sempre que a > 1. Supondo
a = p1α1 ∙ p2α2 ∙ ... ∙ psαs (α1, α2, ... , αs ≥ 1)
(...)
τ (α) = (α1 + 1) ∙ (α2 + 1) ∙ ... ∙ (αs + 1)
τ (3(a+2∙c) ∙ 5b) = (a + 2 ∙ c + 1) ∙ (b + 1)
DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos da Aritmética. São Paulo: Atual, 1.991.

Concurso Público – Professor I – Matemática

Concurso: Professor I – Matemática Ano: 2.010 Órgão: Prefeitura Municipal do Rio de Janeiro Instituição: Secretaria Municipal de Educação – SME Questão: 01
A equação do 2º grau x2 – m.x + 91 = 0 possui duas raízes inteiras para k valores distintos de m. O valor de k é:
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
Solução: (C)
Sejam x1 e x2 as raízes desta equação então:
x1 + x2 = – (b / a) = – (– m / 1) = m
x1 ∙ x2 = (c / a) = (91 / 1) = 91
Determinado os valores de x1 e x2 cujo produto é 91. Os múltiplos positivos de 91 são {1, 7, 13, 91}, então temos quatro possibilidades no qual o produtos das raízes da equação seja 91: {(x1 = 1 , x2 = 91); (x1 = – 1 , x2 = – 91); (x1 = 7 , x2 = 13); (x1 = – 7 , x2 = – 13)}.
Com este valores obtemos quatro valores (k = 4) para m = {92; – 92; 20; – 20}.

Concurso Público – Professor de Educação Básica II – Matemática

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Concurso: Professor de Educação Básica II – Matemática Ano: 2.012 Órgão: Prefeitura Municipal de Sertãozinho Instituição:Fundação Vunesp Questão: 50
No triângulo retângulo ABC, a reta r é paralela ao lado BC, e a reta s é paralela ao lado AB.

Sabe-se que AB = 12 cm, AC = 16 cm e AQ = 12 cm. Pode-se concluir que o perímetro do quadrilátero PQRB é de
(A) 20 cm. (B) 24 cm. (C) 28 cm. (D) 32 cm. (E) 36 cm.
Solução: (E)
A forma como esta figura geométrica foi construída com a reta r paralela ao lado BC, e a reta s paralela ao lado AB, torna o triângulo RQC semelhante ao triângulo BAC.
A medida do lado BC é obtida pelo Teorema de Pitágoras:
BC = √[(AB)2 + (AC)2] = √[(12)2 + (16)2] = 20 cm
QC = AC – AQ = 16 – 12 = 4 cm
Aplicando as relações existentes entre os lados dos triângulos semelhantes temos:
QR / QC = AB / AC → QR / 4 = 12 / 16 → QR = 3 cm
PQ / AQ = BC / AC → PQ / 12 = 20 / 16 → PQ = 15 cm
O fato da reta r paralela ao lado BC, e a reta s paralela ao lado AB, tornam: BP ≡ QR e PQ ≡ BR.
Assim o perímetro …

Concurso Público – Professor de Educação Básica II – Matemática

Concurso: Professor de Educação Básica II – Matemática Ano: 2.012 Órgão: Prefeitura Municipal de Sertãozinho Instituição: Fundação Vunesp Questão: 49
Observe as notas de 10 alunos ordenadas de forma crescente.
1, 2, 3, 4, x, y, 7, 8, 9, 10
Sobre essas notas, sabe-se que a mediana é 5. A nota média dessas 10 notas é
(A) 5,2. (B) 5,3. (C) 5,4. (D) 5,5. (E) 5,6.
Solução: (C)
Mediana é o valor que ocupa a posição central, quando os valores dos dados são ordenados de forma crescente ou decrescente.
Sendo 10 (par) o número dos valores desta amostragem para determinar a mediana devemos calcular a metade da soma do 5º valor com o 6º valor desta amostragem ordenada, assim temos:
Mediana = (x + y) / 2 → 5 = (x + y) / 2 → 10 = (x + y)
Média = (1 + 2 + 3 + 4 + x + y + 7 + 8 + 9 + 10) / 10
Média = (44 + x + y ) / 10 = (44 + 10) / 10 = 54 / 10 = 5,4
Resolução a pedido da Profª. Cristiane.

Concurso Público – Professor de Educação Básica II – Matemática

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Concurso: Professor de Educação Básica II – Matemática Ano: 2.012 Órgão: Prefeitura Municipal de Sertãozinho Instituição: Fundação Vunesp Questão: 48
Em uma firma com 40 empregados, a distribuição dos salários em mínimos é a seguinte:
Analise as afirmações a respeito dos salários dessa firma:
I. a moda dos salários é de 1 mínimo; II. a mediana dos salários é de 3 mínimos. III. 15% dos empregados têm salário maior que a média dos salários.
Pode-se concluir que está correto o contido em
(A) I, apenas. (B) I e II, apenas. (C) I e III, apenas. (D) II e III, apenas. (E) I, II e III.
Solução: (C)
I. a moda dos salários é de 1 mínimo → Verdadeiro
Moda é o valor de maior frequência em determinada amostragem. Pela tabela temos 18 funcionários recebendo 1 salário mínimo, logo 1 salário mínimo é a moda dos salários dos empregados desta firma.
II. a mediana dos salários é de 3 mínimos → Falso
Mediana é o valor que ocupa a posição central, quando os valores dos dados são ordenados de forma crescente ou decrescente. T…

Concurso Público – Professor de Educação Básica II – Matemática

Concurso: Professor de Educação Básica II – Matemática Ano: 2.012 Órgão: Prefeitura Municipal de Sertãozinho Instituição: Fundação Vunesp Questão: 47
Analise as seguintes afirmativas sobre prismas e pirâmides:
I. um prisma com 24 arestas tem, necessariamente, 12 faces e 14 vértices; II. uma pirâmide com 5 faces tem 6 vértices; III. um prisma com 21 arestas tem 9 faces.
Pode-se concluir que está correto o contido apenas em
(A) I. (B) II. (C) III. (D) I e III. (E) II e III.
Solução: (C)
I. um prisma com 24 arestas tem, necessariamente, 12 faces e 14 vértices → Falso
Segundo Dolce e Pompeo (1.993, p. 140): “o prisma possui: 2 bases congruentes; n faces laterais; (n + 2) faces; n arestas laterais; 3n arestas, 3n diedros; 2n vértices e 2n triedros”.
24 arestas correspondem a n = 8 faces laterais, logo são 10 faces (n + 2) e 16 vértices (2 ∙ n).
II. uma pirâmide com 5 faces tem 6 vértices → Falso
Segundo Dolce e Pompeo (1.993, p. 187): “a pirâmide possui: n faces laterais (triângulos), n + 1 faces, 2n arestas,…

Concurso Público – Professor de Educação Básica II – Matemática

Concurso:Professor de Educação Básica II – Matemática Ano:2.012 Órgão: Prefeitura Municipal de Sertãozinho Instituição:Fundação Vunesp Questão:45
Um professor de Matemática apresentou diversas tabelas aos alunos e afirmou que as duas grandezas envolvidas em cada tabela eram inversamente proporcionais. Após análise da interdependência das grandezas dessas tabelas, um grupo de alunos concluiu que “duas grandezas são inversamente proporcionais quando o valor de uma das grandezas aumenta, o valor correspondente da outra diminui”.
Mediante a resposta, analise possíveis ações do professor.
I. O professor deveria dar parabéns ao grupo pela conclusão correta e compartilhá-la com toda a classe. II. O professor deveria discutir com o grupo e com os demais alunos que para a conclusão ficar totalmente correta, falta a expressão vice-versa no final da frase. III. O professor deveria discutir contraexemplos de modo que o aluno perceba que a conclusão apresentada é necessária, mas não é suficiente para que d…

Concurso Público – Professor de Educação Básica II – Matemática

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Concurso: Professor de Educação Básica II – Matemática Ano: 2.012 Órgão: Prefeitura Municipal de Sertãozinho Instituição: Fundação Vunesp Questão: 42
O gráfico a seguir mostra a posição s (em Km) de um automóvel em relação ao marco zero de uma estrada. No instante da partida, instante t = 0, o automóvel está a 10 km desse marco; 2 minutos depois ele está na posição s = 15 km.



Um professor de Matemática do 9.º ano do EF propôs aos seus alunos que analisassem esse gráfico. Dois de seus alunos fizeram as seguintes observações:
I. O gráfico acima representa uma função crescente. II. A relação entre a posição s e o tempo t pode ser assim expressa: s = 10 + 2,5t em que s é expresso em km e t em minutos. III. A posição s e o tempo t são diretamente proporcionais, pois quanto maior for o valor de t, maior é o valor de s e vice-versa.
A respeito dos alunos que fizeram as considerações acima, pode-se concluir que
(A) identificaram corretamente a função acima como crescente, expressaram adequadamente a rel…

Concurso Público – Professor de Educação Básica II – Matemática

Concurso: Professor de Educação Básica II – Matemática Ano: 2.012 Órgão: Prefeitura Municipal de Sertãozinho Instituição: Fundação Vunesp Questão: 36
Um recipiente tem a forma de um cilindro cuja base tem 1,2 m de diâmetro e altura 75 cm. Essas medidas são internas. Sabe-se que para calcular o volume V do cilindro, pode-se utilizar a fórmula V = πr2h, sendo r o raio da base e h a altura do cilindro. Assim, a capacidade desse recipiente é
(A) menor que 600 litros. (B) maior que 600 litros e menor que 700 litros. (C) maior que 700 litros e menor que 800 litros. (D) maior que 800 litros e menor que 900 litros. (E) maior que 900 litros.
Solução: (D)
Pelos dados do problema temos: o diâmetro do cilindro de 1,2 m, logo o raio é 0,6 m. As alternativas estão em litros, portanto é mais prático utilizar as medidas do cilindro em metros (m), então devemos converter altura do cilindro de centímetros para metro, ou seja, 75 cm equivale a 0,75 m.
Substituindo os dados na fórmula do enunciado temos:
V = π ∙ r2 ∙

Latex Editor (Equações Matemáticas)

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