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Mostrando postagens de Agosto, 2013

Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Lenda Urbana: Onde está o pai?

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Conta a lenda urbana que a questão abaixo caiu na prova do ITA, portanto aí  vai um exemplo para os que almejam estudar nas melhores universidades do país, ok?
Uma mãe é 21 anos mais velha que o filho. Daqui há 6 anos a mãe terá uma idade 5 vezes maior que o filho. Pergunta : Onde está o pai agora? Observação: Há que fazer alguns cálculos para obter a resposta. Por mais incrível que pareça a resposta é dada pela matemática.

Solução

Vamos considerar os cálculos partindo do dia atual.
Adotamos a idade da mãe como sendo = y anos.

Adotamos a idade do menino como sendo = x anos.

Portanto, como a mãe é 21 anos mais velha, temos: y = x + 21 (I)

Daqui a 6 anos, ou seja y + 6  e  x + 6, a mãe terá idade 5 vezes maior que a do filho, ou seja: y + 6 = 5 ( x + 6 )

Resolvendo a equação, temos: y + 6 = 5 ∙ x + 30 → y = 5 ∙ x + 24

Se substituirmos o valor acima de Y na primeira equação (I), teremos:
5 ∙ x + 24 = x + 21

5 ∙ xx = 21 – 24

Logo: 4 ∙ x = – 3

x = – 3/4

O menino tem hoje –3/4 anos, ou seja, – 9 me…

Questão 9 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná – 2.013

Considere a seqüência
an = logb1 √5 + logb2 √5 + ... + logbn √5
onde b1 = a (a > 1) e bk+1 = ( bk )2 , k = 1 , ... , n – 1. Determine o valor de a para o qual a10 = 1 – (1/2)10
A) 10 B) ­1/5 C) 1 D) 5 E) √5
Solução: (D)
Segundo o enunciado para a10 → n = 10 , temos:
k = 1 , 2 , 3 , ... , 8 , 9
b1 = a;
b1+1 = b2 = ( b1 )2 = ( a )2 = a2
b2+1 = b3 = ( b2 )2 = ( a2 )2 = a4
b3+1 = b4 = ( b3 )2 = ( a4 )2 = a8
( ... )
b9+1 = b10 = ( b9 )2 = ( a256 )2 = a512
a10 = loga √5 + log(a2) √5 + log(a4) √5 + log(a8) √5 + .... + log(a256) √5 + log(a512) √5
Realizando mudança de base nos logaritmos:
log(a2) √5 = (loga √5) / (loga a2) = (loga √5) / (2 ∙ loga a) = (1/2) ∙ loga √5
log(a4) √5 = (loga √5) / (loga a4) = (loga √5) / (4 ∙ loga a) = (1/4) ∙ loga √5 (...)
log(a256) √5 = (loga √5) / (loga a256) = (loga √5) / (256 ∙ loga a) = (1/256) ∙ loga √5
log(a512) √5 = (loga √5) / (loga a512) = (loga √5) / (512 ∙ loga a) = (1/512) ∙ loga √5 a10 = loga √5 + (1/2) ∙ loga √5 + (1/4) ∙ loga √5 + .... + (1/512) ∙ loga √5
a10 = loga √5 …

Questão 8 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná – 2.013

A seqüência 4, 7, 8, 6, 7, 9, 5, 10, 8, 6, 7 indica as notas de Estatística dos 11 alunos que estão cursando uma Pós-Graduação em Matemática. Assinale a alternativa que apresenta os valores da moda, mediana e variância desses dados, nessa ordem.

A) 7 , 6 , 26/11 B) 6 , 7 , 25/11 C) 7 , 7 , 30/11 D) 7 , 6 , 30 E) 6 , 6 , 24/11
Solução: (C)
Agrupando os dados em ordem crescente:
4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10
Analisando temos: Moda = nota 7 e Mediana = nota 7. (definição de Moda e Mediana)
Não é necessário o calculo da Variância para se determinar a alternativa correta.
A variância (σ) é uma medida de dispersão utilizada na estatística sendo base para o calculo do desvio padrão.
Para se calcular a variância devemos inicialmente calcular a média:
x = (4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10) / 11 = 77 / 11 = 7
σ = [(4 – 7)2 + (5 – 7)2 + (6 – 7)2 + (6 – 7)2 + (7 – 7)2 + + (7 – 7)2 + (7 – 7)2 + (8 – 7)2 + (8 – 7)2 + (9 – 7)2 + (10 – 7)2] / 11 = 30/11

Questão 7 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná – 2.013

O produto de 3 números pares e consecutivos é 88_ _ _ _ _2, em que cada espaço há um algarismo. Determine estes 5 algarismos.

A) 5, 1, 4, 6, 8
B) 1, 3, 4, 7, 6
C) 2, 3, 5, 7, 6
D) 6, 7, 2, 1, 3
E) 7, 1, 4, 7, 5

Solução: (E)

Segundo o enunciado os três números são pares, logo os possíveis algarismos para as unidades são {0 , 2 , 4 , 6 , 8}.

Sendo números consecutivos temos cinco possibilidades de seqüências:
– três números consecutivos cujas unidades são {0 , 2 , 4}; – três números consecutivos cujas unidades são {2 , 4 , 6}; – três números consecutivos cujas unidades são {4 , 6 , 8}; – três números consecutivos cujas unidades são {6 , 8 , 0}; – três números consecutivos cujas unidades são {8 , 0 , 2};
Como 88_ _ _ _ _2 é obtido da multiplicação de três números, e o algarismo da unidade é diferente de zero, as seqüência acima em que aparecem o zero não satisfazem as condições do enunciado, pois neste caso o algarismo da unidade é zero.
Temos neste caso duas possíveis seqüências: – três números consecu…

Questão 6 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná – 2.013

Nos Estados Unidos a escala termométrica mais utilizada é a escala Fahrenheit (°F) enquanto que no Brasil é a escala Celsius (°C). Sabe-se que 23°C correspondem a 73,4°F e que 109,4°F correspondem a 43°C e que essas duas escalas podem ser relacionadas por uma função afim. Quando uma determinada temperatura aumenta em 1°C, qual o aumento dessa temperatura em na escala Fahrenheit?
A) 32°F B) 33°F C) 0,55°F D) 33,8°F E) 1,8°F
Solução: (E)
Este problema é tipo de vestibulares sendo resolvido por meio do teorema de Tales. Para isto o enunciado deve fornecer duas temperaturas: uma temperatura que será a mínimas e outra temperatura que será a máximas.
Montamos uma Escala Termométrica:

T°C máx.   ---------------   T°F máx.
T°C         ---------------  T°F
T°C min.  ---------------  T°F min.

Onde T°C máx. ; T°F máx. ;  T°C min. ; T°F min. são dados obtidos do enunciado.
Aplicando o Teorema de Tales, temos: (T°C – T°C min.) / (T°C máx. – T°C min.) = (T°F – T°F máx. ) / (T°F máx. – T°F min.)
Segundo o enunciad…

Questão 5 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná– 2.013

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As planilhas eletrônicas facilitaram vários procedimentos em muitas áreas, sejam acadêmicas ou profissionais. Na matemática, para obter o determinante de uma matriz quadrada, com um simples comando, uma planilha fornece rapidamente esse valor. Em uma planilha eletrônica,temos os valores armazenados em suas células:
Para obter o determinante de uma matriz utiliza-se o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:D4)” e essa planilha fornece o valor do determinante:

Se em uma outra planilha forem armazenados os valores representados a seguir,

ao se acionar o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:C3)” o valor do determinante é:
A) 7 B) 4104 C) 2376 D) 1512 E) 8424
Solução: (D)
Da planilha eletrônica obtermos o determinante:
| –12 0 6 | | 18 –12 6 | | –6 30 –24 |
Calculando o determinante pela “Regra de Sarrus”:
| –12 0 6 | –12 0 | |

Questão 4 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná– 2.013

O matemático, filósofo e médico Girolamo Cardano (1501–1576) publicou em 1545, na obra de sua autoria nominada de Ars Magna, a fórmula resolutiva de uma equação do terceiro grau que estivesse escrita na forma x3 + px + q = 0 em que p e q são números reais. Essa fórmula era desconhecida até Cardano publicá-la. Rafael Bombelli (1526–1573), em 1572, ao usar a fórmula proposta por Cardano, resolveu a equação x3 – 15x – 4 = 0 e obteve 3 raízes. Uma dessas raízes é:
A) 2 –  √2 B) 3 + √2 C) 2 – √3 D) – 2 – √3 E) – 3 + √2
Solução: (D)
No volume 3 do caderno do aluno (3° ano do ensino médio) adotado pela SEE / SP problema é apresentado da seguinte forma:
“Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com a forma de um cubo de aresta x, outra com a forma de um paralelepípedo com a base retangular, de lados 3 m e 5 m, e de altura igual à altura do cubo. O valor de xdeve ser escolhido de tal maneira que o volume do cubo seja 4 m3 maior do que o do paralelepípedo”.
Para quem gosta de História da Matemática…

Questão 39 – Docente – Estatística – IF/MT – 2.012

Cargo:  Docente - Estatística Ano: 2012 Órgão: Instituto Federal – Mato Grosso Instituição: UFMT
Considere dois eventos A e B , mutuamente exclusivos, e suponha que a probabilidade do evento A é 0,3 ( P[A] = 0,3)  e a probabilidade do evento B é 0,5 ( P[B] = 0,5). Qual a probabilidade condicional do evento A dado B?
[A] P[A | B] = 0,6 [B] P[A | B] = 0 [C] P[A | B] = 0,3 [D] P[A | B] = 0,5
Solução: (B)
Dois eventos são mutuamente exclusivos ou disjuntos se eles não ocorrem simultaneamente, isto é, A∩B = Ø.
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado B, P(A | B), é a probabilidade de ocorrer o evento A sob a condição de ter ocorrido o evento B.

P[A | B] = P [A ∩ B] / P [A] = 0 / 0,3 = 0

Questão 34 – Docente – Estatística – IF/MT – 2.012

Cargo:  Docente - Estatística Ano: 2012 Órgão: Instituto Federal – Mato Grosso Instituição: UFMT
O peso médio ou média aritmética de um grupo de escolares, constituído por 5 meninos e 10 meninas, é igual a 25,0 kg. Considerando que o peso médio das meninas é igual a 24,0 quilogramas, qual é o peso médio dos meninos?
[A] 27,0 kg [B] 25,5 kg [C] 26,0 kg [D] 26,5 kg
Solução: (A)
Seja Pmeninos a soma dos peso dos meninos e Pmeninas a soma dos peso das meninas, logo
Pmeninos = p1 + p2 + p3 + p4 + p5
Pmeninas = p6 + p7 + p8 + p9 + p10 + p11 + p12 + p13 + p14 + p15
Segundo o enunciado:
(Pmeninos + Pmeninas) / 15 = 25,0 → Pmeninos + Pmeninas = 375,0 kg →
→ Pmeninos = 375,0 kg – Pmeninas
Pmeninas / 10 = 24,0 kg → Pmeninas = 240,0 kg
Pmeninos = 375,0 kg – 240,0 kg = 135,0 kg = 5 ∙ 27,0 kg

Pmeninos / 5 = 27,0 kg

Questão 21 – Docente – Estatística – IF/MT – 2.012

Cargo:  Docente - Estatística Ano: 2012 Órgão: Instituto Federal – Mato Grosso Instituição: UFMT
Num lote de suínos, 50% são machos e 20% são da raça landrace. Dentre os que são machos, 30% são landrace. A porcentagem de suínos que não são machos e nem landrace é:
[A] 35% [B] 55% [C] 45% [D] 25%
Solução: (C)
(1° Método)
Considerando 100 o número total de suínos, temos segundo o enunciado: 50 suínos são machos; 50 suínos são fêmeas e 20 suínos são da raça landrace (machos e fêmeas).
Dos 50 suínos machos, 30% são da raça landrace, logo são 15 suínos machos e da raça landrace. Doto total de 20 suínos da raça landrace, 5 são porcas.
A questão se refere a porcentagem de suínos que são fêmeas e que não são da raça landrace:
Se 50 suínos são fêmeas e destas fêmeas 5 são da raça landrace, logo 45 porcas são de outras raças, ou seja, 45% do total.
(2° Método) Seja S o número total de suínos. Segundo o enunciado 1/2 ∙ S são machos; 1/2 ∙ S são fêmeas e 1/5 ∙ S são da raça landrace (machos e fêmeas). [Lembrando…

Latex Editor (Equações Matemáticas)

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