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Mostrando postagens de Setembro, 2013

Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 56 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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Um professor do 6.º ano do Ensino Fundamental desenvolveu com seus alunos uma atividade que envolvia a noção de equivalência de frações. Para isso, ele utilizou como recurso didático as malhas quadriculadas como as apresentadas, para mostrar a equivalência entre duas frações.

Depois, o professor solicitou que seus alunos pintassem em uma malha quadriculada semelhante às anteriores, porém com 24x24 quadradinhos, uma fração equivalente às duas frações que haviam sido representadas nas malhas. Os alunos que responderam corretamente obtiveram a fração:
(A) 9 / 24. (B) 30 / 48. (C) 48 / 576. (D) 120 / 576. (E) 240 / 576.
Solução: (E)
Na primeira figura temos 6x6 = 36 quadradinhos sendo 15 quadradinhos pintados, formando a fração 15 / 36. Na segunda figura temos 12x12 = 144 quadradinhos sendo 60 quadradinhos pintados, formando a fração 60 / 144.
Observe que a fração 15 / 36 é equivalente a 60 / 144, pois a fração 60 / 144 é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da fração 15 / 36 por 4:

Questão 58 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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A primeira parcela de um financiamento de 6 meses é de R$ 200,00, e as demais são decrescentes em 5%. Assim, a segunda parcela, P2, tem um desconto de 5% sobre a primeira, a terceira parcela, P3, tem um desconto de 5% sobre P2, e assim por diante. Assim, para calcular o valor total pago quando a dívida for totalmente quitada pode-se fazer o cálculo:
(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Solução: (B)

Conforme o enunciado:
P1 = 200
P2 = 200 – 0,05 ∙ 200 = 200 ∙ (1 – 0,05) = 200 ∙ 0,95
P3 = 200 ∙ 0,95 – 0,05 ∙ (200 . 0,95) = 200 ∙ 0,95 ∙ (1 – 0,05) = 200 ∙ 0,95 ∙ 0,95 = 200 ∙ 0,952
( ... )
P6 = 200 ∙ 0,954 – 0,05 ∙ (200 . 0,954) = 200 ∙ 0,954 ∙ (1 – 0,05) = 200 ∙ 0,954 ∙ 0,95 = 200 ∙ 0,955
Observe que P1, P2, P3, ..., P6 forma uma progressão geométrica de razão q = 0,95 e a1 = 200. Calculando a soma desta progressão geométrica finita para n = 6 (seis parcela), temos:
Sn = a1 ∙ (1 – qn) / 1 – q → S6 = S = 200 ∙ (1 – 0,956) / 1 – 0,95
Resolução a pedido da Profª. Édnamar.

Questão 60 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

Alguns alunos precisam construir um painel, colando várias figuras quadradas de mesmo tamanho, sobre uma tela retangular. Essas figuras, feitas de papel, têm cores diversas. Sabe-se que elas não serão justapostas. Se os alunos colarem 50 figuras, sobra na tela uma área de 512 cm². Por outro lado, se eles quisessem colar 56 figuras quadradas, a tela precisaria ter 88 cm² a mais. Nesse caso, é correto dizer que o lado de cada figura quadrada mede
(A) 10 cm. (B) 11 cm. (C) 12 cm. (D) 13 cm. (E) 15 cm.
Solução: (A)
Seja x a medida do lado de cada figura, podemos utilizar a área do painel para determinar a medida do lado das figuras. Segundo dados do enunciado, a área do painel é de 50 figuras + 512 cm² ou 56 figuras – 512 cm², sendo a área de cada figura x2, logo:
50 ∙ x2 + 512 cm2 = 56 ∙ x2 – 88 cm2
600 cm2 = 56 ∙ x2
600 cm2 = 6 ∙ x2 → 100 cm2 = x2 → 10 cm = x
Resolução a pedido da Profª. Édnamar.

Questão 59 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

A professora do 9.º ano solicitou a seus alunos que localizassem na reta numérica o ponto correspondente a 2 √3, utilizando régua e compasso. Todos os alunos tinham bons instrumentos e fizeram os transportes das medidas adequadamente, utilizando de forma correta o compasso.
Analise os procedimentos de cinco de seus alunos.
Ana: construiu um triângulo retângulo de catetos com medidas 1 e 2. Com o compasso, transportou a medida da hipotenusa e marcou essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.
André: construiu um retângulo de lados com medidas 1 e 2. Uniu dois vértices opostos, obtendo uma diagonal. Com o compasso, transportou a medida dessa diagonal e marcou essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.
Diego: construiu um quadrado de lado com medida 1. Uniu dois vértices opostos, obtendo uma diagonal. Com o compasso, transportou a medida dessa diagonal e marcou duas vezes essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.
Júlia: Constr…

Questão 57 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

Um tonel de vinho tem a forma de um cilindro, cuja base interna tem 60 cm de raio e altura interna 0,8 m. É correto afirmar que a capacidade desse tonel é
(A) menor que 500 litros. (B) maior ou igual a 500 litros e menor que 750 litros. (C) maior ou igual a 750 litros e menor que 900 litros. (D) maior ou igual a 900 litros e menor que 1 000 litros. (E) maior ou igual a 1 000 litros.
Solução: (D)
Segundo o enunciado: raio do cilindro: = 60 cm = 0,6 m, e altura de 0,8 m. Sendo V, o volume do cilindro e A, a área da base, temos:
Vcilindro = (Abase) ∙ (altura) = raio2 ∙ π ∙ (altura)
Vcilindro = 0,62 ∙ π ∙ 0,8 = 0,904778684... m3 ≈ 0,905 m3
1 m3 equivale a 1.000 litros, portanto o volume do cilindro de aproximadamente 905 litros.
Resolução a pedido da Profª. Édnamar.

Questão 51 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

Diego e André estão guardando dinheiro para a formatura do Ensino Médio. Diego já tem R$ 1.400,00 e André, R$ 1.600,00. Se, todos os meses, Diego guardar apenas R$ 50,00 e André guardar apenas R$ 25,00, pode-se afirmar que ambos terão a mesma importância em
(A) 15 meses. (B) 12 meses. (C) 10 meses. (D) 9 meses. (E) 8 meses.
Solução: (E)
Segundo o enunciado: R$ de Diego = R$ de André. Sendo m a quantidade de meses, temos:
R$ de Diego = R$ 1.400,00 + (R$ 50,00) ∙ m
R$ de André = R$ 1.600,00 + (R$ 25,00) ∙ m
R$ 1.400,00 + (R$ 50,00) ∙ m = R$ 1.600,00 + (R$ 25,00) ∙ m
(R$ 25,00) ∙ m = R$ 200,00
m = 8 meses
Resolução a pedido da Profª. Édnamar.

Questão 50 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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Todos os 40 professores de uma escola têm pelo menos 1 filho. Nenhum professor tem mais de 4 filhos. O gráfico a seguir apresenta a distribuição da quantidade de filhos desses professores.

Com base nas informações expressas no gráfico, é correto afirmar que
(A) a média do número de filhos dos professores é 2,85. (B) a mediana do número de filhos dos professores é 2,5. (C) a moda do número de filhos dos professores é 2,55. (D) o número de professores com dois ou mais filhos não ultrapassa 80% do total. (E) o número de professores com pelo menos três filhos ultrapassa 50% do total
Solução: (B)
(A) “a média do número de filhos dos professores é 2,85” → Falso.
X = (6 ∙ 1 + 14 ∙ 2 + 12 ∙ 3 + 8 ∙ 4) / 40 = 2,55 filhos.
(B) “a mediana do número de filhos dos professores é 2,5” → Verdadeiro.
Ordenando de forma crescente os dados da amostra temos: 1º ao 6º são professores com 1 filho; 7º ao 20º são professores com 2 filhos; 21º ao 32º são professores com 3 filhos, e; 33º ao 40º são professores com 4 filh…

Questão 49 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

A respeito dos diferentes tipos de número, é correto afirmar que
(A) O número 17 / 83 é irracional, pois o quociente de 17 por 83 não é uma dízima periódica, ou seja, esse número tem infinitas casas decimais, que se repetem de forma sem regularidade. (B) O número πé racional, pois ele pode ser obtido por meio de um quociente: o comprimento de um círculo qualquer dividido pela respectiva medida de seu diâmetro ou do raio. (C) Nem todo número irracional é número real; apenas são reais os números irracionais que são soluções de equações polinomiais de coeficientes inteiros. (D) O conjunto dos números complexos, que contém os números imaginários, está contido no conjunto dos números reais, uma vez que podem ser obtidos pela resolução de equações polinomiais de coeficientes inteiros. (E)  O número 1,20200200020000200000 ... (as reticências significam que o número 2 vem acompanhado de uma quantidade crescente de zeros: 1, 2, 3, 4, 5, e assim, por diante), é irracional, pois ele não pode ser obti…

Questão 48 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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Com relação à equação matricial

correto afirmar que ela representa um sistema linear
(A) impossível. (B) que apresenta apenas a solução trivial, ou seja, x = 0, y= 0 e z= 0. (C) que apresenta apenas a solução x = 1, y= –1 e z= 0, além da solução trivial. (D) que apresenta apenas a solução x= 3, y = 1 e z = –2, além da solução trivial. (E) que apresenta infinitas soluções.
Solução: (E)
O resolvendo a equação matricial, obtemos o sistema linear de três incógnitas:
x + y + 2 ∙ z = 0 x – y + z = 0 2 ∙ x – 4 ∙ y + z = 0
Se tata de um sistema linear homogêneo, pois os termos independentes de todas as equações são nulas.
Sendo o numero de equação igual ao número de incógnitas podemos calcular o determinante D:

1 1 2 D = 1 –1 1
2 –4 1

1 1 2

Questão 47 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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Lucas e Tiago vão disputar um jogo de dados. Trata-se de um dado tradicional de seis faces, numeradas de 1 a 6. Lucas apostou nos números ímpares (1, 3 e 5) e Tiago, nos números pares (2, 4 e 6). Foi estipulada a seguinte regra: o vencedor será aquele que vencer primeiro duas jogadas consecutivas ou, então, três jogadas alternadas. Após ser conhecido o vencedor, o jogo será encerrado. A quantidade de sequências distintas de resultados possíveis das jogadas, até que se conheça o vencedor é igual a
(A) 36. (B) 12. (C) 10. (D) 6. (E) 5.
Solução: (C)
Realizando um diagrama de árvore observamos que temos 10 possibilidades distintas (cinco para cada jogador) de resultados das jogadas para se obter o vencedor da disputa.
Possibilidades de Tiago vencer:

Possibilidades de Lucas vencer:
Resolução a pedido da Profª. Édnamar.

Questão 46 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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Um professor propôs a seus alunos do 1.º ano do Ensino Médio, o seguinte problema:
Uma população P cresce em função do tempo t (em anos) segundo a sentença P = 5 000 · 100,1t. Hoje, no instante t = 0 a população é de 5 000. Daqui a quantos anos a população será de 100 000?
Assim, a resposta ao problema é obtida por meio da resolução da equação 20 = 100,1t.
Levando-se em conta o atual Currículo do Estado de São Paulo, é correto considerar que
(A) o professor deveria ter proposto apenas números como 50 000, 500 000, 5 000 000 etc em lugar do 100 000, pois, desse modo, o problema seria traduzido por meio de uma equação exponencial cujos dois membros poderiam ser reduzidos a potências de 10 com expoentes racionais.
(B) essa situação é inadequada para alunos do 1.º ano do EM, tendo em vista que, para resolver a equação exponencial 20 = 100,1t, não é possível substituir o número 20 por uma potência de 10, impossibilitando “igualar” as bases dos dois membros da equação.
(C) a resolução da equação …

Questão 45 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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No sistema de eixos cartesianos ortogonais mostrados a seguir, estão representados dois triângulos.

Esses triângulos são simétricos em relação
(A) à reta y = x. (B) à reta y = x + 1. (C) à origem. (D) ao ponto (5, 5). (E) ao ponto (5, 3).
Solução: (A) A figura é obtida a partir de duas transformações lineares: uma reflexão e uma rotação.
Analisando a figura observamos que a reta y = x é o eixo de simetria entre estas figuras. Os pontos (1 , 3) e (3 , 4) de um triângulo são correspondentes aos pontos (3 , 1) e (4 , 3) do outro triângulo.
Os pontos (1 , 3) e (3 , 1) estão a mesma distância da reta y = x, assim como os pontos (4 , 3) e (3 , 4).
Segundo a teoria quando temos uma reflexão em torno do eixo y = x:
T : R2 → R2
(x , y) → (y , x) ou T (x , y) = (y , x)

x

y
=
0 1

x

Latex Editor (Equações Matemáticas)

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