A respeito dos diferentes tipos de número, é correto afirmar que
(A) O número 17 / 83 é irracional, pois o quociente de 17 por 83 não é uma dízima periódica, ou seja, esse número tem infinitas casas decimais, que se repetem de forma sem regularidade.
(B) O número πé racional, pois ele pode ser obtido por meio de um quociente: o comprimento de um círculo qualquer dividido pela respectiva medida de seu diâmetro ou do raio.
(C) Nem todo número irracional é número real; apenas são reais os números irracionais que são soluções de equações polinomiais de coeficientes inteiros.
(D) O conjunto dos números complexos, que contém os números imaginários, está contido no conjunto dos números reais, uma vez que podem ser obtidos pela resolução de equações polinomiais de coeficientes inteiros.
(E) O número 1,20200200020000200000 ... (as reticências significam que o número 2 vem acompanhado de uma quantidade crescente de zeros: 1, 2, 3, 4, 5, e assim, por diante), é irracional, pois ele não pode ser obtido pelo quociente de dois números inteiros.
Solução: (E)
(A) “o número 17 / 83 é irracional, pois o quociente de 17 por 83 não é uma dízima periódica, ou seja, esse número tem infinitas casas decimais, que se repetem de forma sem regularidade” → Falso.
O quociente de dois números inteiros, no caso 17 e 83, por definição, é um número racional.
(B) “o número π é racional, pois ele pode ser obtido por meio de um quociente: o comprimento de um círculo qualquer dividido pela respectiva medida de seu diâmetro ou do raio” → Falso.
O número π é irracional, pois não pode ser escrito na forma de um quociente de dois números inteiros.
(C) “nem todo número irracional é número real; apenas são reais os números irracionais que são soluções de equações polinomiais de coeficientes inteiros” → Falso.
Por definição o conjunto dos números irracionais está contido no conjunto dos números reais, portanto não há exceções a esta regra.
(D) “o conjunto dos números complexos, que contém os números imaginários, está contido no conjunto dos números reais, uma vez que podem ser obtidos pela resolução de equações polinomiais de coeficientes inteiros” → Falso.
Por definição é o oposto: o conjunto dos números reais é que está contido no conjunto dos números complexos.
(E) “o número 1,20200200020000200000 ... (as reticências significam que o número 2 vem acompanhado de uma quantidade crescente de zeros: 1, 2, 3, 4, 5, e assim, por diante), é irracional, pois ele não pode ser obtido pelo quociente de dois números inteiros” → Verdadeiro.
Embora pareça uma dizima periódica, observe que o número de zeros após o algarismo 2 aumenta a cada passo, trata-se então de um dizima infinita não periódica, correspondendo a um número cuja parte decimal tem uma infinidade de algarismos mas sem período, isto é, não há uma sequência de algarismos que se repete, portanto é um número irracional.
Segundo Luís (2.002, p.14), são exemplos de números irracionais formado por dizima não periódica os números na forma:
0,a1 a2 a3 a4 a5 ... an ...
Onde: an = 0 se n = m ∙ (m + 3) / 2 e m = 1, 2, 3 ...; an = 1 para outros n.
0,a1 a2 a3 a4 a5 ... an ...
Onde: an = 1 se n = m ∙ (m + 1) / 2 e m = 1, 2, 3 ...; an = 0 para outros n.
Referência: LUÍS, António Gregório. Instituto Superior de Economia e Gestão. Curso de Matemática Aplicada à Economia e Gestão. Análise Matemática I. Elementos de Análise Real, volume 1. Lisboa, 2.002.
Resolução a pedido da Profª. Édnamar.
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