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Mostrando postagens de Outubro, 2013

Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 26 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

A população P de uma cidade cresce em função do tempo t (em anos), segundo a sentença: P = 16000.100,1t. Hoje, instante t = 0, a cidade tem 16000 habitantes. A população será 1.600.000 daqui a
(A) 2 anos. (B) 4 anos. (C) 8 anos. (D) 20 anos. (E) 40 anos.
Solução: (D) Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Determinar depois de quantos anos a população desta cidade será de 1.600.000 habitantes.
2° – Estabelecimento de um Plano
Substituir o valor de P por 1.600.000 na equação P = 16000 ∙ 100,1∙t e resolver algebricamente a equação exponencial.
3° – Execução do Plano
P = 16000 ∙ 100,1∙t→ 1600000 = 16000 ∙ 100,1∙t→ 1600000 = 16000 ∙ 100,1∙t
→ (1600000 / 16000) = 100,1∙t → (1600000 / 16000) = 100,1∙t
→ 100 = 100,1∙t → 102 = 100,1∙t → 2 = 0,1 ∙ tt = 20 anos
4° – Avaliação
Partindo do passo 102 = 100,1∙t pode-se utilizar o logaritmo:
102 = 100,1∙tlog 102 = log 100,1∙t → 2 ∙ log 10 = (0,1 ∙ t) ∙ log 10 →
→ 2 = 0,1 ∙ tt = 20 anos
O professor Olímpio r…

Questão 25 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Um professor, em uma aula de probabilidade, trouxe uma caixa com três bolas, sendo duas azuis e uma vermelha. Ele disse aos seus alunos: se eu tirar, ao acaso, duas bolas dessa caixa, sem reposição, o que poderemos afirmar?
Analise a resposta que cinco alunos deram ao professor:
• Maria: a probabilidade de tirar duas azuis é maior do que a de tirar uma vermelha e outra azul. • Diego: a probabilidade de tirar duas azuis é igual a de tirar uma vermelha e outra azul. • Paula: a probabilidade de tirar uma azul e a outra vermelha é o dobro de tirar duas azuis. • Júlia: a probabilidade de tirar uma azul e a outra vermelha é de 1/4. • Lucas: a probabilidade de tirar duas azuis é 1/5.
Desses alunos, o único aluno que fez uma afirmação correta foi
(A) Maria. (B) Diego. (C) Paula. (D) Júlia. (E) Lucas.
Solução: (C)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Nesta questão devemos determinar qual aluno realizou a afirmação correta baseado no experimento do professor …

Questão 24 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

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A figura representa um alvo de dardos. Esse alvo é formado por dois quadrados cujos lados medem respectivamente 3 m e 1 m.


Uma pessoa atira um dardo e acerta no alvo. A probabilidade de ela ter acertado no interior do quadrado menor é:
(A) 1/2. (B) 1/3. (C) 1/4. (D) 1/8. (E) 1/9.
Solução: (E)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
A figura representa um alvo de dardos com a forma quadrada e que apresenta apenas duas áreas de pontuação: uma área clara (AC) e outra área escura (AE).
A resposta da questão é a probabilidade do dardo de atingir a área cinza [P (AE)], sendo que a área do alvo (AA) é 9 m2; a área clara é de 8 m2 e a área escura é de 1 m2.
2° – Estabelecimento de um Plano
A probabilidade de acertar uma área específica do alvo é a razão entre a área específica pela área total do alvo, na forma matemática temos:
P (Área Específica) = (Área Específica) / (Área do Alvo)
3° – Execução do Plano
Calculando a probabilidade:
P (AE) = 1 / 9
4° – Avaliaçã…

Questão 23 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Uma livraria tinha um estoque de 240 livros de um determinado título. Foram vendidos inicialmente apenas 3/8 desse estoque. Para vender os demais livros, o gerente anunciou um desconto de R$ 5,00 no valor de cada livro restante. Desse modo, todos os livros restantes foram vendidos. Se o total arrecadado com a venda de todo o referido estoque foi de R$ 10.050,00, pode-se concluir que o preço sem desconto, cobrado inicialmente por cada livro, era de
(A) R$ 42,75. (B) R$ 45,00. (C) R$ 47,50. (D) R$ 50,00. (E) R$ 52,25.
Solução: (B)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
A questão apresenta como incógnita o preço (P) sem o desconto dos livros, sendo apresentando o valor total arrecadado pela venda dos livros (ou seja, a soma do valor arrecadado com e sem o desconto); a quantidade de livros vendidos sem o desconto; o valor de venda com desconto (P – R$ 5,00), e; a quantidade de livros no estoque.
2° – Estabelecimento de um Plano
Inicialmente determina…

Questão 22 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Ana comprou uma TV da seguinte maneira: pagou entrada de 40% do preço à vista e, trinta dias depois, pagou uma parcela de R$ 748,80. O preço à vista da TV era R$ 1.200,00. Assim, a taxa mensal de juros simples cobrada pela loja foi de
(A) 8%. (B) 7%. (C) 6%. (D) 5%. (E) 4%.
Solução: (E)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
A questão tem como incógnita a taxa de juros (i) cobrada por uma loja na compra de um aparelho de TV no regime de juros simples; apresentando os dados: o valor do aparelho à vista (V); o valor da parcela de entrada (E); o período (n) e o valor da parcela paga no final do período (M).
O valor da taxa deve ser calculado sobre o valor restante da dívida (D). A análise mostra que a parcela paga no final do período é o montante no sistema de juros simples pois trata-se da soma do valor do capital (no caso o valor restante da dívida) com o valor dos juros acumulado no período, então devemos atentar para o fato de que a taxa de jur…

Questão 21 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Seja o conjunto ­A = {x Є R / 1/5 < x < 5/8}. Pertence a esse conjunto o número
(A) 4,3. (B) 1,2. (C) 0,8. (D) 0,4. (E) 0,1.
Solução: (D)
Segundo as condições do conjunto temos: 1/5 < x < 5/8 → 0,2 < x < 0,625.

Então x = 0,4.

Questão de Consurso: Análise de Gráfico

Um fato interessante ocorre quando se dedica certa parte do seu tempo na resolução de questões para concurso. Na 12º questão do concurso para o cargo de professor de matemática da Secretaria de Estado da Administração e da Previdência do Estado do Paraná, realizado no ano de 2.013.

A seguir apresentamos a questão omitindo as alternativas, que neste caso não é do interesse nesta postagem:

Uma determinada empresa de ônibus aluga seus ônibus para estudantes em viagens para encontros e congressos. Um grupo decidiu viajar para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços, os estudantes receberam de uma empresa a seguinte proposta: o preço de cada passagem depende do total de passageiros – cada  passageiro pagará R$ 90,00 mais o valor de R$ 5,00 por lugar que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo que o ônibus tem 52 lugares (...)

A questão já foi resolvida algebricamente em outra postagem (Clique Aqui), entretanto esta questão me chamou a atenção por se tratar …

Questão 12 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná – 2.013

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Uma determinada empresa de ônibus aluga seus ônibus para estudantes em viagens para encontros e congressos. Um grupo decidiu viajar para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços, os estudantes receberam de uma empresa a seguinte proposta: o preço de cada passagem depende do total de passageiros – cada  passageiro pagará R\$ 90,00 mais o valor de R\$ 5,00 por lugar que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo que o ônibus tem 52 lugares, é CORRETO afirmar que:



A) o valor total máximo que a empresa poderá receber pelo pagamento das passagens ocorrerá quando o total de passageiros for igual a 35.


B) se o total de passageiros for x, o preço (em reais) de cada passagem será calculado pela expressão 450x – 5x2.


C) se viajarem 30 passageiros, cada um deles pagará R\$ 110,00.


D) se viajarem 50 pessoas, a empresa deverá receber um total de R\$ 6.000,00 referente ao pagamento das passagens.


E) se viajarem x pessoas, o valor total (em reais) que a empresa deverá r…

Questão 11 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná – 2.013

Ao contrário de um imóvel, que fica mais valorizado comercialmente dia após dia, um veículo começa a perder seu valor no instante em que sai da loja. Alguns modelos perdem menos, outros mais. Segundo um especialista, a média de depreciação de um carro de passeio nacional com até dois anos de vida é de 20% a 35%. Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se P representa o preço inicial (preço de fábrica) e p(t) o preço após t anos, determine o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um a automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use log 2 ≅ 0,301 e log 3 ≅ 0,477.

A) 14 anos.
B) 15 anos.
C) 13 anos.
D) 16 anos.
E) 18 anos.
Solução: (B)
Sendo F o valor inicial, temos:
1º ano: p(1) = F – 19% de F = F – (19/100) ∙ F = (81/100) ∙ F = 0,81 ∙ F
2º ano: p(2) = 0,81 ∙ F – 19% de (0,81 ∙ F) ∙ F = 0,81 ∙ F – (19/100) ∙ (0,81 ∙ F) = (0,81)2 ∙ F
3º ano…

Questão 10 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná – 2.013

Determine a(s) solução(ões) para a equação:
√(2 + √3)x + √(2 – √3)x = 4
A) x = –1 ou x = 1 B) x = –1 ou x = 2 C) x = 2 ou x = 2 D) x = –2 ou x = 2 E) x = 4
Solução: (D)
A chave para a resolução desta equação é notar que:
(2 – √3) = 1 / (2 + √3)
Por radiciação temos:
1 / (2 + √3) = [1 / (2 + √3)] ∙ [(2 – √3) / (2 – √3)] = (2 – √3)
Resolvendo a equação:
√(2 + √3)x + √(2 – √3)x = 4 → √(2 + √3)x + √(1 / (2 + √3))x = 4 →
→ √(2 + √3)x + 1 / √(2 – √3)x = 4 → [(√(2 + √3)x)2 + 1] / √ (2 + √3)x = 4 →
→ (√(2 + √3)x)2 + 1 = 4 ∙ (√ (2 + √3)x) →
→ (√(2 + √3)x)2 + 1 – 4 ∙ (√ (2 + √3)x) = 0

Latex Editor (Equações Matemáticas)

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