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Mostrando postagens de Novembro, 2013

Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 09 – Concurso SEE/SP (FGV) – 2.013 – Professor de Educação Básica II – Matemática

O primeiro termo de uma sequência é 2013. A partir do segundo termo, cada termo dessa sequência é a soma dos quadrados dos algarismos do termo anterior.
Por exemplo, o segundo termo é 22 + 02 + 12 + 32 = 14.
O 2013º termo dessa sequência é

(A) 13.
(B) 14.
(C) 15.
(D) 16.
(E) 17.

Obs: Caderno de Prova Tipo 2 – Cor Verde

Solução: (D)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema

Podemos classificar as questões envolvendo seqüências em três tipos:

(S1) quando o enunciado da questão apresenta uma seqüência grande com vários números e apresenta perguntas do tipo: “determine ou encontre o 100º número da seqüência”. Nestes casos a resolução é por meio de progressões (aritmética ou geométrica).

Exemplo: Encontre o 125° número da sequência:  1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, ... . Neste caso você terá que utilizar os conceitos de P.A. (progressão aritmética), pois, notem, que a quantidade de número da se…

Questão 29 – Concurso SEE/SP (FGV) – 2.013 – Professor de Educação Básica II – Matemática

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As cidades M = Macapá (no Brasil) e Q = Quito (no Equador) estão situadas sobre a linha do equador terrestre.
As longitudes dessas cidades são respectivamente, 51°W e 78°W. Considere o comprimento do equador da Terra igual a 40.000km. A distância aproximada entre Macapá e Quito é de
(A) 2.000km.
(B) 2.300km.
(C) 2.500km.
(D) 2.800km.
(E) 3.000km.

Obs: Caderno de Prova Tipo 2 – Cor Verde

Solução: (E)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Nesta questão temos que determinar a distância entre Macapá (M) e Quito (Q) sabendo a longitude de cada uma das cidades e o comprimento do equador terrestre.

A longitude é um distancia angular que permite localizar um ponto sobre um paralelo na Terra tendo como referencia o Meridiano de Greenwich (o marco zero). Neste caso Macapá está a 51°W do Meridiano de Greenwich e Quito está a 78°W do Meridiano de Greenwich.

O “W” no ângulo significa “a oeste de Greenwich” (oeste inglês é West), ou seja, as cidades estão locali…

Questão 30 – Concurso SEE/SP (FGV) – 2.013 – Professor de Educação Básica II – Matemática

Ao conjunto {2, 5, 9, 11, 14, 15} é acrescentado um sétimo número inteiro N, diferente daqueles já existentes, de tal modo que o novo conjunto de números a média e a media são iguais. A soma dos possíveis valores de N é:
(A) 25. (B) 28. (C) 35. (D) 38. (E) 45.
Obs: Caderno de Prova Tipo 2 – Cor Verde
Solução: (B)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Nesta questão temos que determinar os possíveis valores de N para que a média (X) e a mediana (M) sejam iguais e que N seja diferente dos números do conjunto {2, 5, 9, 11, 14, 15}.
Mediana é o valor que ocupa a posição central, quando os valores dos dados são ordenados de forma crescente ou decrescente. Segundo o enunciado acrescentando o valor de N temos sete elementos no conjunto, assim a mediana é o valor do número que ocupa a quarta posição.
2° – Estabelecimento de um Plano
Conforme o enunciado, temos três possíveis medianas dependendo da posição de N no conjunto: (i) mediana igual a 9, para N <…

Pausa para Estudos!

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Desculpas ... estou tirando esta semana de folga ... preciso estudar ... no fim de semana tem concurso!

Questão 30 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

O polinômio P (x) = x3+ 2x2– 5x – 6 tem três raízes inteiras e distintas, e sabe-se que P (–1) = 0. A soma das duas outras raízes é
(A) – 2. (B) – 1. (C) 1. (D) 2. (E) 5.
Solução: (B)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Segundo a teoria todo polinômio é divisível pelo polinômio (x – xr), onde xr uma raiz do polinômio, sedo que a raiz anula o valor da equação, ou seja, sendo um polinômio qualquer P (x) então P (xr) = 0.
Segundo o enunciado para P (x) = x3 + 2 ∙ x2 – 5 ∙ x – 6 temos que P (– 1) = 0, em outras palavras "P (– 1) = 0" diz que "– 1" é uma das três raízes de P (x).
Portanto P (x) é divisível por (x – (– 1)) = (x + 1).
Uma condição importante é que as outras duas raízes de P (x), x2 e x3 ,são raízes inteiras e distintas.
2° – Estabelecimento de um Plano
A resolução desta questão consiste em dividir o polinômio x3 + 2 ∙ x2 – 5 ∙ x – 6 por x + 1.
O quociente desta divisão é um polinômio do segundo grau do qual podemos de…

Questão 80 – Concurso SEE – 2.010 – Professor de Educação Básica II – Matemática

O triângulo ABC tem vértices A(0,0) e B(36,15). A respeito do vértice C, sabe-se que suas coordenadas são números inteiros. A menor área possível do triângulo ABC é
(A) 1/2. (B) 1. (C) 3/2. (D) 9/2. (E) 13/2.
Obs: Caderno de Prova ‘E05’ – Tipo 001 – Modelo 1
Solução: (C)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensãodo Problema
Nesta questão temos que determinar para qual ponto C (xc ,yc), com xceyc sendo número inteiro, obtemos a menor área para o triângulo ABC.
Para que esta condição do enunciado seja atendida o ponto C deve estar situado o mais próximo possível da reta suporte do segmento AB.
2° – Estabelecimento de um Plano
A resolução se resume em determinar o ponto C.
Inicialmente temos que determinara reta suporte do segmento AB. Com a equação da reta determina-se a distância do ponto C a esta reta.
O ponto C pertence a uma reta paralela a reta suporte do segmento AB. A distância (d) que separa estas duas retas equivale a altura do triângulo ABC e pode ser determ…

Questão 56 – Concurso SEE – 2.010 – Professor de Educação Básica II – Matemática

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A figura representa o planeta Terra e uma montanha cujo ponto mais alto é indicado por A. A semi-reta AB indica a linha do horizonte, e o segmento BC o raio da Terra.

Se BC = 100 . AB, então, a altura da montanha, na mesma unidade de BC e AB, é igual a AB multiplicado por
(A) √10001 – 100. (B) 101 – √10001. (C) 100 – √1001. (D) 10000 – √10001 (E) √1000001– 10000
Obs: Caderno de Prova ‘E05’ – Tipo 001 – Modelo 1
Solução: (A)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Segundo os dados do enunciado BC é o raio da Terra e AB é uma reta tangente a circunferência da Terra.
A geometria diz que uma reta que passa pelo centro de um circunferência e  intersecta uma reta tangente a esta mesma circunferência formam, entre esta duas reta, um ângulo de 90º.
Desta forma o triangulo ABC é um triangulo retângulo, reto em B. A medida da hipotenusa AB é igual ao raio somado a medida da altura da montanha (hm):
AC = BC + hm → AC = 100 ∙ AB + hm
2° – Estabelecimento de um Pl…

Questão 29 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

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A área do trapézio retângulo PQRS é 216 cm2. Sabe-se que PQTS é um quadrado e que a medida do segmento QT é igual à medida do segmento TR.


A alternativa que indica o valor mais próximo do perímetro do triângulo QRT é
(A) 57,8 cm. (B) 40,9 cm. (C) 37,8 cm. (D) 36,5 cm. (E) 36,0 cm.

Solução: (B)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Nesta questão devemos determinar o perímetro (p) do triângulo QRT. O problema apresenta a figura de um trapézio retângulo cuja área é de 216 cm2.

Segundo o enunciado: PS ≡ ST ≡ TQ ≡ QP ≡ TR. O triângulo QRT é congruente aos triângulos formado quando traçamos o segmento de reta QS que forma a diagonal do quadrado PQTS.
Se o trapézio PQRS tem 216 cm2 então o quadrado possui 2/3 da área do trapézio e o triângulo 1/3 do valor da área do prapézio.
2° – Estabelecimento de um Plano
Calculando a área do quadrado determinamos a medida do segmento QT e a medida do segmento QS, sendo QS ≡ QR.
Calculamos com estes dados o perímetro do…

Questão 28 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Uma pirâmide possui 24 arestas. Pode-se concluir que se trata de uma pirâmide cuja base tem a forma de um
(A) heptágono. (B) octógono. (C) eneágono. (D) decágono. (E) dodecágono.
Solução: (E)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Nesta questão devemos determinar o polígono que forma a base de uma pirâmide que apresenta 24 arestas. Segundo as alternativas temos:
(A) heptágono → 7 lados; (B) octógono → 8 lados; (C) eneágono → 9 lados; (D) decágono → 10 lados; (E) dodecágono → 12 lados;
2° – Estabelecimento de um Plano
Consultando outras questões de outros concursos:
Questão 39 – Prova do Estado –(OFA) 2.010 – Professor de Educação Básica II
Questão 33 – Processo de Promoção– Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013
Obtemos o seguinte dado: a pirâmide possui: (2 ∙ n) arestas, sendo n o número de faces laterais e consequentemente o numero de lados do polígono que forma a base.
3° – Execução do Plano
Calculando o número de faces laterais e/ou lados do…

Questão 27 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Um prisma tem 24 arestas. A respeito desse prisma, é correto afirmar que ele possui

(A) 10 faces.
(B) 12 faces.
(C) 8 vértices.
(D) 10 vértices.
(E) 12 vértices.

Solução: (A)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Nesta questão devemos determinar qual número de faces ( f ) ou o número de vértices ( v ) de um prisma com 24 arestas.

2° – Estabelecimento de um Plano

Consultando outras questões de outros concursos: 

Questão 33 – Processo de Promoção– Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013
Questão 72 – Prova do Estado –(OFA) 2.013 – Professor de Educação Básica II
Concurso Público – Professor deEducação Básica II – Matemática
Obtemos o seguintes dados: o prisma possui: 2 bases congruentes; g faces laterais; (g + 2) faces; g arestas laterais; (3 ∙ g) arestas, (2 ∙ g) vértices.
Com estes dados podemos determinar o número de faces laterais e com isto o número de lados do polígono que formam as bases deste prisma e então determinar o número de vér…

Questão 40 – Concurso SEE – 2.010 – Professor de Educação Básica II – Matemática

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Com relação à figura abaixo, sabe-se que:



− A, B, C, D são pontos pertencentes à reta r;
− E, F, G são pontos pertencentes à reta s;
− r é paralela à s;
− EF=FG=2.AB=2.BC=2.CD=2;
− dos sete pontos, os únicos pares de pontos alinhados verticalmente são B com F e D com G;
− BF=DG=3.

O total de triângulos distintos, com vértices dentre os sete pontos, que possuem área 3 é

(A) 7
(B) 9
(C) 10
(D) 12
(E) 14

Obs: Caderno de Prova ‘E05’ – Tipo 001 – Modelo 1

Solução: (E)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Devemos determinar quantos triângulos distintos podem ser formados por três dos sete pontos indicados nas retas. A condição necessária é que estes triângulos devem possuir a área de 3 unidades de área.

Segundo o enunciado a reta r e a reta s são paralelas e estão a distancia uma da outra de 3 unidade, segundo o dado BF = DG = 3.

Dos dados do enunciado, o que pode causar um pouco de confusão é a relação: EF = FG = 2.AB = 2.BC = 2.CD = 2, que na verdade é EF …

Latex Editor (Equações Matemáticas)

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