A representação gráfica de uma função f: R → R é a da figura.
Essa função f pode ser expressa por:
(A) f(x) = 1 + cos x.
(B) f(x) = –1 + cos x.
(C) f(x) = 1 + sen x.
(D) f(x) = 2sen x.
(E) f(x) = 2cos x.
Solução: (D)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Neste problema temos que determinar a função que gerou o gráfico. Normalmente gráficos que apresentam esta forma ou são da função seno ou são da função cosseno. O gráfico apresenta alguns pontos importantes no qual podemos utilizar na resolução.
Observe que os valores de x estão em decimais, normalmente nestes gráficos temos valores de x expressos em π, que não é um problema visto que a função toca no eixo das abscissas em x = 0; x = 3,14... e x = 6,28... (em decimal) respectivamente a x = 0; x = π e x = 2·π (em múltiplos de π).
Na função seno e na função cosseno em sua forma mais básica, g(x) = sen(x) e g(x) = cos(x), apresentam o conjunto imagem: Imgg(x) = {[– 1, 1]}, ou seja, – 1 ≤ g(x) ≤ 1.
O gráfico indica uma imagem: Imgf(x) = {[– 2, 2]}, ou seja, – 2 ≤ f(x) ≤ 2, então temos as seguintes opções para analisar:
Para a função seno:
f(x) = sen[(c·x) + d]
f(x) = b · sen[(c·x) + d]
f(x) = a + b · sen[(c·x) + d]
Para a função cosseno:
f(x) = sen[(c·x) + d]
f(x) = b · sen[(c·x) + d]
f(x) = a + b · sen[(c·x) + d]
Cada um dos coeficientes a, b, c e d tem um influência diferente e causam distorções na função seno e na função cosseno.
O coeficiente a influência a transição vertical sendo que só haverá deslocamento ou translação vertical se a ≠ 0; o deslocamento ou translação vertical será para cima se a > 0; o deslocamento ou translação vertical será para baixo se a < 0.
O coeficiente b influência o alongamento ou a compressão na vertical da curva, ou seja, a amplitude da curva, se b < 0 ocorre um reflexão da curva em torno de seu eixo.
O coeficiente c influência o alongamento ou a compressão na horizontal da curva, determinado o intervalo em que a curva se repete, ou seja, o período (obtido pela fórmula T = (2 · π) / |c|), sendo que só há alteração no período quando c ≠ 1.
O coeficiente d influência a transição horizontal sendo que só haverá deslocamento ou translação vertical se d ≠ 0; o deslocamento ou translação horizontal será de d/c para direita ou para a esquerda; o deslocamento ou translação horizontal para direita se d/c < 0; o deslocamento ou translação horizontal será para esquerda se d/c > 0; o deslocamento ou transição horizontal é denominado deslocamento de fase ou defasagem da curva.
2° – Estabelecimento de um Plano
Da análise do gráfico observamos que: – 2 ≤ f(x) ≤ 2, que e as outras características se mantem, então temos uma influência do coeficiente b, então a = 0, b ≠ 1, c = 1.
Como o coeficiente d influência na defasagem na curva pode fazer com que ou a função seno ou a função cosseno mudem de fase fazendo com que a função seno fique em fase com a função cosseno ou vice-versa.
As alternativas indicam que não temos esta influência, portanto temos apenas que verificar se a alternativa (D) ou a alternativa (E) é a correta, ou seja, para as funções do tipo:
f(x) = b · sen[(c·x) + d] → f(x) = b · sen(x)
Com b = 2.
Para a resolução, inicialmente, atribuímos valores para x e verificamos o valor do sen (x) e do cos (x), o preenchimento da Tabela 1, pode auxiliar, nela temos os valores mais utilizados neste tipo de resolução:
x
|
f(x)
|
sen(x)
|
cos(x)
|
0
|
0
|
0
|
|
|
|
π/2
|
2
|
|
|
3,14
|
π
|
0
|
|
|
|
3·π/2
|
– 2
|
|
|
6,28
|
2·π
|
0
|
|
|
Tabela 1: Valores mais utilizados para x nos cálculos
da função seno e da função cosseno.
Com o preenchimento da tabela podemos comparar valores e determinar a resposta correta.
3° – Execução do Plano
Completando a tabela obtemos:
x
|
f(x)
|
sen(x)
|
cos(x)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
π/2
|
2
|
1
|
0
|
3,14
|
π
|
0
|
0
|
– 1
|
|
3·π/2
|
– 2
|
– 1
|
0
|
6,28
|
2·π
|
0
|
0
|
1
|
Pela análise da tabela podemos observar que a alternativa correta é a (D) f(x) = 2 · sem(x).
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