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Mostrando postagens de Junho, 2014

Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 44 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

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Para determinar a altura de um prédio, um estudante, que estava sem instrumento de medida de comprimento, e com ajuda de um instrumento que ele construiu, mediu de forma aproximada o ângulo de elevação do prédio a partir de A, obtendo 45°. Em seguida, caminhou até B, que ele sabia que estava distante 50 m de A e mediu novamente o ângulo de elevação, obtendo 30°. A figura a seguir representa essa situação.



Para o cálculo da altura, o estudante utilizou tg 30º ≈ 0,6 e tg 45º ≈ 1.
Assim, a altura aproximada do prédio é
(A) 48 m. (B) 60 m. (C) 75 m. (D) 84 m. (E) 93 m.
Solução: (C)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Segundo a imagem do enunciado temos dois triângulos retângulos que compartilham um mesmo cateto que representa a altura (h) do edifício.
A Figura 1 mostra uma reconstrução da imagem do enunciado para auxiliar na interpretação da questão.

Considerando o ponto C como a base do edifício então o segmento CD representa a altura do edifício,…

Questão 43 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Uma embalagem de suco concentrado tem a forma de um paralelepípedo reto. Sua base tem a forma de um quadrado de 7 cm de lado. Sabendo-se que essa embalagem tem capacidade de 1 litro, pode-se afirmar que a alternativa que indica o valor mais próximo da altura dessa embalagem é
(A) 17,0 cm. (B) 18,8 cm. (C) 19,6 cm. (D) 20,4 cm. (E) 21,2 cm.
Solução: (D)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Segundo o enunciado temos que calcular a altura de um paralelepípedo reto cuja base é um quadrado de lado 7 cm e o volume de 1 litro.
Temos que converter a unidade de volume litro para cm3.
O volume (V) do paralelepípedo reto é obtido pelo produto da área da base (Abase) pela altura (h).
2° – Estabelecimento de um Plano
Converter o volume em litros para cm3 e utilizar a fórmula do volume do paralelepípedo para determinar a altura da embalagem. 3° – Execução do Plano
Sabemos que 1 m3 equivalem a 1.000 litros e que 1 m3 é o volume de uma cubo cuja aresta mede 1 m.

Questão 42 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

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A figura representa um quadrado formado por cinco polígonos: um quadrado e quatro triângulos retângulos. Esses triângulos são congruentes, cujos catetos medem a (cateto maior) e b (cateto menor) e a hipotenusa mede c.

A área da região quadrada destacada na figura é igual a
(A) c2 – (a + b)2 (B) c2 – a2 – b2 (C) (c – a)2 + b2 (D) a2 – 2ab + b2 (E) a2 – b2
Solução: (D)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Inicialmente consideremos a parte indicada na Figura 1 como sendo um erro construtivo na imagem do enunciado.
Na Figura 2 indicamos os pontos por letras, devemos determinar uma expressão que representa a área do quadro EFGH.
Podemos observar que temos quatro triângulos retângulos congruentes: ΔAFB; ΔBGC; ΔCHD, e; ΔDEA. Lados congruentes destes triângulos formam um quadrado ABCD.
Observe o triângulo retângulo ΔAFB é retângulo em F (ou seja, o ângulo F mede 90º), então o lado AB é a hipotenusa do triângulo, cuja medida é c, o lado BF é o cateto men…

Questão 41 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

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Os pares ordenados (0, 0) e (1, 3) pertencem ao gráfico de uma função polinomial do 2.º grau. O máximo dessa função tem abscissa x = 2. Logo, o valor da função no ponto de abscissa x = –1 é
(A) 5. (B) 4. (C) 0. (D) –4. (E) –5.
Solução: (E)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Determinar a o valor de f (– 1) de uma função do segundo grau [f (x) = a · x2 + b · x + c ] que possui os pontos P1 = (0, 0) e P2 = (1, 3).
Como a função apresenta um valor de máximo (a < 0) então a concavidade da parábola está voltada para baixo, logo f (x) = – a · x2 + b · x + c.
Temos a abscissa do vértice da parábola: xv = 2.
2° – Estabelecimento de um Plano
Utilizar os dados do enunciado para obter a função e calcular f (– 1). 3° – Execução do Plano
f (x) = – a · x2 + b · x + c
Para o ponto P1 = (0, 0), temos (0) = 0:
0 = – a · 02 + b · 0 + c → c = 0
f (x) = – a · x2 + b · x + c → f (x) = – a · x2 + b · x + 0 → f (x) = – a · x2 + b · x
Para o ponto P2 = (1, 3), temos (…

Questão 40 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

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Se a medida do raio de uma esfera é 10 cm, então a área de sua superfície é igual a
(A) 100π cm2. (B) 200π cm2. (C) 400π cm2. (D) 600π cm2. (E) 800π cm2.
Solução: (C)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Calcular a superfície ( ) da esfera de raio ( ) igual a 10 cm.
2° – Estabelecimento de um Plano
Utilizar os dados e aplicar na fórmula da área da esfera. 3° – Execução do Plano
S = 4 · π · r2
S = 4 · π · 102 = 4 · π · 100 = 400 · π cm2
4° – Avaliação
Questão do tipo “se lembra ... faz ... se não lembra ... chuta”. Que aprecia a História da Matemática pode se lembrar de Arquimedes que deduziu a fórmula para cálculo da área da esfera.
Arquimedes observou que uma esfera inscrita no cilindro tem a área de superfície igual a área lateral deste cilindro.
ASE = ALateral do Cilindro
ASE = 2 · π · r · h
Então se temos uma esfera de raio r, inscrita num cilindro, logo o cilindro tem raio r e altura h igual a 2 · r.
ASE = 2 · π · r · 2 · r
ASE = 4 · π · r2

Questão 39 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

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Ana, aluna do 1.º ano do Ensino Médio, analisou o gráfico a seguir. Esse gráfico mostra a variação da quantidade V de litros de água em uma caixa em função do tempo t em minutos. No instante inicial, instante t = 0, a caixa tem 3 000 litros de água.


Analise algumas conclusões de Ana sobre esse gráfico:
I. A quantidade V de água e o tempo t são inversamente proporcionais, pois se t aumenta V diminui.
II. A quantidade V de água em função do tempo t pode ser expressa por V = 3 000 – 100t.
Pode-se concluir que Ana
(A) obteve uma sentença correta que relaciona V e t e mostra domínio da noção de grandezas inversamente proporcionais.
(B) obteve uma sentença correta que relaciona V e t, mas ainda não tem domínio da noção de grandezas inversamente proporcionais.
(C) domina a noção de grandezas inversamente proporcionais, mas não obteve a sentença V = 3 000 – 30t que é a forma correta de relacionar V e t desse problema.
(D) domina a noção de grandezas inversamente proporcionais, mas não obteve a senten…

Latex Editor (Equações Matemáticas)

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