Questão 42 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

A figura representa um quadrado formado por cinco polígonos: um quadrado e quatro triângulos retângulos. Esses triângulos são congruentes, cujos catetos medem a (cateto maior) e b (cateto menor) e a hipotenusa mede c.

A área da região quadrada destacada na figura é igual a

(A) c² – (a + b)²

(B) c² – a² – b²

(C) (c – a)² + b²

(D) a² – 2ab + b²

(E) a² – b²

Solução: (D)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Inicialmente consideremos a parte indicada na Figura 1 como sendo um erro construtivo na imagem do enunciado.

 

Figura 1: Erro construtivo na imagem do enunciado.

Na Figura 2 indicamos os pontos por letras, devemos determinar uma expressão que representa a área do quadro EFGH.

 

Figura 2: Indicação dos pontos.

Podemos observar que temos quatro triângulos retângulos congruentes: Δ_AFB; Δ_BGC; Δ_CHD, e; Δ_DEA. Lados congruentes destes triângulos formam um quadrado ABCD.

Observe o triângulo retângulo Δ_AFB é retângulo em F (ou seja, o ângulo F mede 90º), então o lado AB é a hipotenusa do triângulo, cuja medida é c, o lado BF é o cateto menor, cuja medida é b e o lado AF é o cateto maior, cuja medida é a (vide Figura 3).

Figura 3: Indicação dos lados dos triângulos.

Conforme a Figura 4, considerando x o lado do quadrado destacado na figura, a área quadrada (A_Q) é igual a x², temos também que AF = AE + EF → EF = AF – AE e que AF = a e AE = b, então EF = a – b, ou seja, x = a – b.

Figura 4: Figura completa após analise.

 

2° – Estabelecimento de um Plano

Utilizando os dados analisados do enunciado determinamos a área quadrada A_Q.

                                             

3° – Execução do Plano

A_Q = x²

A_Q = (a – b)²

A_Q = (a – b)² = a² – 2 · a · b + b²

A_Q = a² – 2 · a · b + b²

4° – Avaliação

A área A_Q pode ser obtida subtraindo as áreas dos quatro triângulos retângulos do quadrado ABCD (A_ABCD), sendo os quatro triângulos congruentes, temos então:

A_Q = A_ABCD – 4 · A_ΔAFB

A_Q = c² – 4 · [(a · b) / 2]

A_Q = c² – 2 · a · b

Observe que aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos da Figura 2, obtemos a relação:

c² = a² + b²

Então, substituindo c² em A_Q = c² – 2 · a · b

A_Q = a² + b² – 2 · a · b → A_Q = a² – 2 · a · b + b²

***

Quem gosta de estudar geometria (assim como eu) pode reconhecer a figura do enunciado, principalmente se já leu o livro “The Pythagorean Proposition” de Elisha S. Loomis.

No seu livro Loomis reuniu diversas formas de provar o Teorema de Pitágoras. Na segunda edição do livro, de 1972, na página 49, temos a Figura 32 representando a 34º prova algébrica do teorema, proposta pelo Rev. J. G. Excell (em 1.928), R. A. Bell (em 1.931) e Dr. W. Leitzmann (em 1.930).

Na Figura 5, temos a imagem da prova realizada.

Figura 5: Prova do Teorema de Pitágoras No Livro de Elisha S. Loomis.

 

Consideremos BH = x, e HF = y, então AH = x + y. A sacada está na igualdade AC² = 4 · A_ΔABH + HE²; onde AC² é a área do quadrado ABCD; A_ΔABH é a área do triângulo ABH e HE² é a área do quadrado EFGH.