Analise a seguir a resolução da inequação
onde se conclui que x ≥ 3/4.
Analisando a resolução da inequação apresentada, é correto afirmar que
(A) todas as passagens e a conclusão estão corretas.
(B) a passagem de (I) para (II) está incorreta, o que compromete o resto da resolução.
(C) a passagem de (II) para (III) está incorreta, o que compromete o resto da resolução.
(D) a passagem de (III) para (IV) está incorreta, o que compromete o resto da resolução.
(E) a passagem de (VII) para (VIII) está incorreta, o que se faz chegar a uma conclusão incorreta.
Solução: (D)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Quando temos a incógnita no denominador de uma inequação, costumamos classifica-la como uma inequação quociente.
Neste tipo de inequação é muito importante lembrar que não existe denominador nulo então x ≠ 0, pois de outra forma teríamos um denominador nulo na fração (x – 1) / x, pelo mesmo motivo x ≠ 3, pois de outra forma teríamos um denominador nulo na fração x / (x – 3).
A conclusão x ≥ 3/4 (lê se: “x é maior que 3/4” ou “x é maior que 0,75”) inclui o 3 na solução o que não é correto.
2° – Estabelecimento de um Plano
Na análise inicial concluímos que a resolução está incorreta então devemos verificar onde está o erro.
3° – Execução do Plano
Verificando onde está o erro:
(I)
(II)
(x – 1) · (x – 3)
|
≤
|
x · x
|
x · (x – 3)
|
x · (x – 3)
|
(III)
x2 – 4 · x + 3
|
≤
|
x2
|
x · (x – 3)
|
x · (x – 3)
|
(IV)
x2 – 4 · x + 3
|
–
|
x2
|
≤
|
0
|
x · (x – 3)
|
x · (x – 3)
|
(V)
– 4 · x + 3
|
≤
|
0
|
x · (x – 3)
|
Observe que o erro esta na passagem do passo (III) para o passo (IV) quando realizou o procedimento de cancelar os denominadores, apenas realizamos esta operação quando temos uma equação, em inequações cuja solução é muitas vezes um intervalo de números no qual pode conter um ou mais números que não são soluções.
4° – Avaliação
Questões envolvendo inequações ou equações quociente sempre envolve uma restrição pela própria característica da fração de representar uma divisão e não permitir o denominar nulo.
Prosseguindo com a resolução teríamos que realizar o estudo dos sinais para a equação do numerador e do denominador
Na equação do numerador: – 4 · x + 3, sabemos que a raiz desta equação é x = 3/4, sabemos também que é uma equação decrescente, pois o coeficiente que acompanha o x (– 4) é negativo.
Esta equação gera como gráfico uma reta que cruza o eixo das abscissas no ponto de x = 3/4, então segundo o estudo de sinais para valores anteriores a x = 3/4 são positivos e para valores posteriores a x = 3/4 são negativos.
Na equação do numerador: x · (x – 3), sabemos que as raízes desta equação é x = 0 e x = 3, sabemos também que é uma equação do segundo grau x · (x – 3) = x2 – 3 · x, com a concavidade voltada para cima, pois o coeficiente que acompanha o x2 é positivo.
Esta equação gera como gráfico uma parábola que cruza o eixo das abscissas nos pontos de x = 0 e de x = 3, então segundo o estudo de sinais para valores anterior a x = 0 são positivos, para valores entre x = 0 e x = 3 são negativos e para valores posteriores a x = 3 são positivos.
|
0
|
3/4
|
3
|
–4 · x + 3
|
+
|
+
|
+
|
–
|
–
|
–
|
x · (x – 3)
|
+
|
–
|
–
|
–
|
–
|
+
|
|
–4 · x + 3
|
|
+
|
–
|
–
|
+
|
+
|
–
|
x · (x – 3)
|
A solução então é x < 0 e 3/4 ≤ x < 3.
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