Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas. A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas. O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações. Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra , Geometria Analítica , Funções e Trigonometria . Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas. Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sem

Produto de dois Binômios na forma (x ± a) (x ± b)

Apresento neste artigo uma forma mais direta para resolver o produto de dois binômios na forma (xn ± a) · (xn ± b) com n pertencente ao conjunto dos números inteiros, a e b pertencentes ao conjunto dos números reais.

Para quem está começando a estudar o assunto recomendo que inicie este procedimento com a e b pertencentes ao conjunto dos números inteiros e com a prática utilizando amplie para os demais conjuntos numéricos.

Esta orientação é importante por parte do procedimento é realizado por meio de cálculo mental, sendo que alguns leitores (assim como eu) apresentam certa dificuldade em realizar cálculos sem lápis e papel. Outra orientação é estar familiarizado com as propriedades das potências.
  
Iniciaremos o estudo com um exemplo ilustrativo: seja o produto dos binômios (x + 2) · (x + 3), a forma tradicional de resolução é aplicar a propriedade da distributiva, então:

(x + 2) · (x + 3) = x2 + 3·x + 2·x + 6 = x2 + 5·x + 6

O procedimento que proponho para realizar este produto segue três passos, que devem ser realizados mentalmente:

1°-) realize o produto dos primeiros termos dos binômios: x · x = x2. Temos então:

(x + 2) · (x + 3) = x2;

2°-) realize a soma aritmética dos segundos termos dos binômios: 2 + 3 = + 5. Acrescente a incógnita (ou variável) e o expoente é a metade do expoente da incógnita obtida no passo 1° (então x2, o esponte é 2 que dividido por 2 é  1). Temos então:

(x + 2) · (x + 3) = x2 + 5·x;

3°-) realize o produto dos segundos termos dos binômios: 2 · 3 = + 6. Temos então:

(x + 2) · (x + 3) = x2 + 5·x + 6

Outros exemplos:

(i) (x – 3) · (x – 4)

1°-) x · x = x2 → (x – 3) · (x – 4) = x2;

2°-) – 3 – 4 = – 7 →  – 7·x → (x – 3) · (x – 4) = x2 – 7·x;

3°-) (– 3) · (– 4) = 12 →  (x – 3) · (x – 4) = x2 – 7·x + 12.

(ii) (x + 6) · (x – 4)

1°-) x · x = x2 → (x + 6) · (x – 4) = x2;

2°-) + 6 – 4 = + 2 →  + 2·x → (x + 6) · (x – 4) = x2 + 2·x

3°-) (+ 6) · (– 4) = – 24 →  (x – 3) · (x – 4) = x2 + 2·x – 24.

(iii) (a2 + 5) · (a2 – 9)

1°-) a2 · a2 = x4 → (a2 + 5) · (a2 – 9) = a4;

2°-) + 5 – 9 = – 4 →  – 4·a2 (lembre que o expoente obtido no passo 1° é 4 que dividido por 2 é 2) → (a2 + 5) · (a2 – 9) = a4 – 4·a2 ;

3°-) (+ 5) · (– 9) = – 45 →  (x – 3) · (x – 4) =(a2 + 5) · (a2 – 9) = a4 – 4·a2 – 45.

(iv) (ax+1 – 6) · (ax+1 – 5)

1°-) ax+1  · ax+1   = a2·(x+1) → (ax+1 – 6) · (ax+1 – 5) = a2·(x+1);

2°-) – 6 – 5 = – 11 →  – 11·a2·(x+1) [lembre que o expoente obtido no passo 1° é 2·(x+1)  que dividido por 2 é (x + 1)] → (ax+1 – 6) · (ax+1 – 5) = a2·(x+1) – 11· a2·(x+1);

3°-) (– 6) · (– 5) = 30 → (ax+1 – 6) · (ax+1 – 5) = a2·(x+1) – 11·a2·(x+1) + 30.

***

Podemos expandir a ideia para produtos do tipo (x3·y3 + 5) · (x3·y3 – 9), visto que x3·y3 = (x·y)3, observe:

1°-) (x3·y3) · (x3·y3) = x6·y6 (x3·y3 + 5) · (x3·y3 – 9) = x6·y6;

2°-) + 5 – 9 = – 4 → – 4·x3·y3 [lembre que o expoente obtido em cada incógnita no passo 1° é 6  que dividido por 2 é 3] → (x3·y3 + 5) · (x3·y3 – 9) = x6·y6 – 4·x3·y3;

3°-) (+ 5) · (– 9) = – 45 → (x3·y3 + 5) · (x3·y3 – 9) = x6·y6 – 4·x3·y3 – 45.

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