Carl Boyer, em seu livro História da Matemática, apresenta e discute ideias de Euclides de Alexandria, que é o autor de Os Elementos. Para Boyer, os Elementos “não só constituem a mais antiga obra matemática grega importante a chegar até nós, mas o texto mais influente de todos os tempos. Foi composto em 300 a.C., aproximadamente, e foi copiado e recopiado repetidamente depois.” Os Elementos estão distribuídos em 13 livros ou capítulos. O primeiro livro começa com vinte e três definições, seguidas de cinco postulados e cinco definições comuns. Sabe-se que a negação do quinto postulado de Euclides tem uma importância vital para o desenvolvimento de outras geometrias: as geometrias não euclidianas. O quinto postulado de Euclides, segundo Boyer, é assim enunciado:
(A) em um sistema axiomático dedutivo, não existem proposições aceitas como verdadeiras para as quais não se exige demonstração, pois em geometria qualquer afirmação deve ser provada.
(B) a demonstração de um teorema geométrico exige a clara distinção entre axiomas e postulados, pois a veracidade de um axioma deve ser demonstrada por meio de postulados e definições.
(C) dados dois segmentos desiguais, pode-se marcar sobre o maior segmento um outro segmento igual ao menor segmento.
(D) se uma reta cortando duas retas faz os ângulos interiores de um mesmo lado menores que dois ângulos retos, as retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se desse lado em que os ângulos são menores que dois retos.
(E) todos os segmentos são comensuráveis, ainda que a obtenção de suas medidas seja de forma indireta, no caso de serem ou estarem inacessíveis.
Solução: (D)
O quinto postulado de Euclides é chamado de “postulado das paralelas”.
Segundo Eves (1.995, p. 180) “se uma reta intercepta duas retas formando ângulos interiores de um mesmo lado menores do que dois retos, prolongando-se essas duas retas indefinidamente elas se encontrarão no lado em que os dois ângulos são menores do que dois ângulos retos”.
Segundo Eves (1.992, p. 45) “pela expressão ‘não euclidiana’ entendemos um sistema geométrico construído sem a ajuda da hipótese euclidiana das paralelas e contendo uma suposição sobre paralelas incompatível com a de Euclides”.
Segundo Boyer (1.974, p. 74) “5. Que, se uma reta cortando duas retas faz os ângulos interiores de um mesmo lado menores que dois ângulos retos, as duas retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram desse lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos”.
Referencias:
EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 1.995.
EVES, Howard. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Geometria. Tradução de Hygino H. Domingues. 8 ed. São Paulo: Atual, 1992.
BOYER, Carl B. História da Matemática. 2ª edição. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgar Blucher, 1.974.
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