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Mostrando postagens de Junho, 2015

Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

1 = -1

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A demonstração é devido a John Bernoulli, pode ser analisado como segue: Considerando que:
1 = –1
Então:
(1)2 = (–1)2
1 = (–1)2
Aplicando logaritmo neperiano:
ln (1) = ln (–1)2
Sabemos que ln (1) = 0:
0 = 2 · ln (–1)
0 = ln (–1)
Segundo a definição do logaritmo neperiano ln = logex, então
0 = ln (–1) ↔ e0 = –1
Sabemos que e0 = 1, portanto:
e0 = –1 → 1 = –1
q.e.d. (quod erat demonstrandum)
***
O mesmo argumento pode ser expresso da seguinte forma, onde x é um valor que satisfaz a equação:
ex = –1
(ex)2 = (–1)2
e2·x = 1
e2·x = e0
2 · x = 0 → x = 0
Então
ex = e0
Entretanto ex = –1 e e0 =1, então
1 = –1 q.e.d.
(quod erat demonstrandum)

Fonte: BALL, W.W. Rouse. Mathematical Recreations and Essays. 4° ed. London: Macmillan and Co., Limited New York: The Macmillan Company, 1.905.
***

Estimativa: Cobrindo com Cédulas de R$ 1,00

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Já parou para pensar qual a área que pode ser coberta com um trilhão de cédulas de R$ 1,00?
Dica: Qual a área de uma cédula de R$ 1,00?
Resposta: Segundo o site do Banco Central (consulta realizada de 28/06/2,015) as dimensões de uma cédula de R$ 1,00 é de 65 milímetros de largura e 140 milímetros de comprimento, que em metros corresponde, respectivamente a 65∙10–3 m (0,065 m) e 140∙10–3 m (0,140 m).
Podemos calcular a área (Acédula) de uma cédula como sendo a área de um retângulo:
Acédula = (65∙10–3 m) ∙ (140∙10–3 m) = 9,1∙10–3 m2
Então a área que pode ser coberta por um trilhão (1.000.000.000.000, ou seja, 1012) é igual a:
(1012 cédulas) · (9,1∙10–3 m2/folha) = 9,1∙109 m2
Convertendo em quilômetros quadrados obtemos 9,1∙103 km2, ou seja, 91.000 km2.
Para efeito de comparação a área do estado d o Rio de Janeiro (43.780,172 km2) e do Espírito Santo (46.095,583 km2) juntos é de aproximadamente 89.875,755 km2, então um trilhão de cédulas de R$ 1,00 podem cobrir estes dois estados e ainda sobra …

Estimativa: Empilhando Cédulas de R$ 1,00

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Oriundo da atual situação politico administrativa do nosso país, diariamente nos jornais e noticiários parecerem enormes valores monetários, mas o leitor já parou para pensar qual a magnitude de valores monetários da casa dos milhões, bilhões ou trilhões?
Só para iniciar o assunto com uma pergunta: qual é a altura de uma pilha de um trilhão de cédulas de R$ 1,00?
Dica: Qual a espessura é uma resma (500 folhas) de papel?
Resposta: Para obter essa altura, precisamos estimar a espessura de uma cédula.
Já de antemão aviso que não tem como fazer esta pilha, pois segundo o site do Banco Central apenas 149.026.088 cédulas de R$ 1,00 estão circulando atualmente nos pais (consulta realizada de 28/06/2,015) .
Talvez você conheça a espessura de uma única cédula, ou vamos fazer de conta que não sabe.
Quando não podemos facilmente calcular a espessura (ou massa, ou qualquer outra grandeza) de um único objeto, muitas vezes podemos facilmente estimar a espessura de um conjunto desse objeto.
Considerando qu…

Mendigar ou Trabalhar

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O salário mínimo no Brasil é fixado em R$ 788,00(setecentos e oitenta e oito reais) a partir de 1º de janeiro de 2.015, segundo o Decreto 8.381/2014, o valor diário do salário mínimo corresponderá a R$ 26,27 (vinte e seis reais e vinte e sete centavos) e o valor horário, a R$ 3,58 (três reais e cinquenta e oito centavos).
Imagine um mendigo que pede esmola em algum sinal de trânsito de uma grande cidade.
O sinal de transito alterna de vermelho para verde em média a cada 30 segundos (30 segundos no vermelho e 30 segundos no verde). Não vamos considerar o tempo que o sinal de transito permanece no amarelo.
Então, a cada minuto o mendigo tem 30 segundos para faturar pelo menos R$ 0,05. Se 1 hora tem 60 minutos, temos 60 x R$ 0,05 = R$ 3,00.
Observe que o mendigo pode conseguir 83,80% do valor horário trabalhado de uma pessoa que recebe um salário mínimo.
Um trabalhador normalmente trabalha por 8 horas diariamente. Se permanecer no local por 8 horas, o mendigo, pode faturar 8 x R$ 3,00 = R$ 24…

Paradoxo: Menino ou Menina?

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Maria e João têm dois filhos. Seu primeiro filho é um menino chamado Jack.
Qual é a probabilidade do casal ter dois filhos de sexos diferentes?
Isto parece à primeira vista, uma questão ridiculamente simples. Se admitir que venha nascer um menino ou uma menina, e que o sexo do primeiro filho não interfere em nada com o sexo do próximo filho, então não há dúvida de que a probabilidade de que a segunda criança ser uma menina (portanto, não do mesmo sexo que o primeiro filho) é de 1 em 2.
E essa é a resposta: 1 em 2.
Simples, não?
Mas agora vamos considerar outro casal, Josefina e José, que também tem duas e somente duas crianças. Sabemos que um deles é um menino, mas não sabemos se ele é seu filho mais velho ou mais novo.
A pergunta é: qual é a probabilidade do sexo da outra criança deste casal ser de um menino ou de uma menina?
Embalado pelos nossos raciocínio anterior, podemos prever a sua chance também de 1 em 2.
E é isso? Só que não!! Surpreendentemente, essa resposta está errada!!
A resp…

A proposta do diabo

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O relato fictício seguinte mostra como não ter preguiça de raciocinar antes de aceitar uma proposta é importante para evitar problemas.

Um rapaz muito preguiçoso desabafa:
Todo morador dessa cidade sempre diz: “Esta cidade não precisa de preguiçosos e vagabundos ... você está sempre no caminho atrapalhando a todos! Se continuar assim vai para o inferno falar com o diabo!
Mas será que o diabo pode me dizer algo para que melhore a minha situação?
Tão logo o rapaz disse estas palavras o próprio diabo apareceu a sua frente.
Bem ... bem ... bem ...  – disse o diabo – o que posso dizer a você é que tenho um trabalho para que execute, não se preocupes que é um trabalho simples e fácil ...  e o melhor de tudo, você vai ficar muito rico.
O preguiçoso com olhar curioso e interessado continua escutando as doces palavras do diabo.
Você vê aquela ponte? – disse o diabo – Sei que tem dinheiro no bolso, então, basta atravessar a ponte e eu vou dobrar o seu dinheiro.
Na verdade, cada vez que vo…

Ói, ói o Trem

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Um estudante e uma estudante acabaram de concluir algumas medições meteorológicas para uma pesquisa e estão descansando em uma colina.
Um trem de carga que percorre uma estrada de ferro pelo vale, sua locomotiva fumegante ferozmente e bufando puxando um comboio por uma ligeira inclinação. Ao longo do leito da estrada de ferro o vento está soprando de forma constante, sem rajadas.
"Qual a velocidade do vento que indica nossas medições?" – perguntou o moço.
"Vinte quilômetros por hora." – respondeu a moça.
"Isso é o suficiente para que eu determine a velocidade do trem." – afirmou o moço.
"Como assim?!" – pergunta a moça com tom de dúvida.
"Tudo que você tem a fazer é observar com um pouco mais de atenção o movimento do trem." – responde o moço.
A menina pensou um pouco e também percebeu que poderia determinar a velocidade do trem.
O que os estudantes viram foi precisamente representado pelo artista que desenhou a gravura reproduzida abaixo.

Qu…

O peso de um Elefante é igual ao peso de um Rato?

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Se x é do peso de um elefante, e y é o peso de um rato, consideremos a soma dos dois pesos de 2v, então, matematicamente:

x + y = 2 ∙ v                                        (I)
Dessa equação, podemos obter mais duas equações
x = 2 ∙ vy                                         (II)
x – 2 ∙ v = – y                                      (II)
Multiplicando por x a equação (II) e por y a equação (III):
x · x = (2 · vy) · xx2 = 2 · v · xy · xx2 – 2 · v · x = – y · x
(x – 2 · v) · y = – y · yx · y – 2 · v  · y = – y2 → y2 – 2 · v  · y = – x · y
Segundo estas equações  – y · x = x · y, então:
x2 – 2 · v · x = y2 – 2 · v  · y
Somando v2 em cada membro da igualdade:
x2 – 2 · v · x + v2 =  y2 – 2 · v  · y + v2
(xv)2 = (y –  v)2
√(xv)2 = √(yv)2
xv = yv
x =

Latex Editor (Equações Matemáticas)

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