Números Perfeitos

Na matemática, podemos dizer que existe um conceito matemático mais perfeito do que qualquer outro?  

A maioria dos professores de matemática, constantemente, dizem aos seus alunos que a matemática é perfeita.

Bem, agora vamos apresentar a perfeição em números, a perfeição como é definida pela comunidade matemática.

Segundo a tradição na teoria dos números, no conjunto dos números naturais, temos um conceito denominado de "número perfeito".

Um número é definido perfeito quando um número é igual à soma de seus divisores próprios exceto o próprio número (lembre-se que todo número é divisor que si mesmo).

O menor número perfeito é o 6, uma vez que 6 = 1 + 2 + 3, que é a soma de todos os seus divisores próprios.

Abrindo um parêntese o número 6 é o único numero conhecido que apresenta a característica que a soma e o produto dos seus divisores próprios são iguais: 6 = 1 + 2 + 3 = 3 · 2 · 1 = 3! Outro fato interessante é: 6 = √ (1³ + 2³ + 3³) e que ¹/₁ = ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₆. Vale lembra que 6 e seu quadrado 36, são números triangulares ... fechando o parêntese.

O próximo número perfeito é o 28, uma vez que novamente 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

E o próximo é 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, que é a soma de todos os divisores próprios de 496.

Estes quatro primeiros números perfeitos eram conhecidos desde os gregos ... eles são o 6, o 28, o 496 e o 8128.

Euclides determinou um teorema generalizando a forma de encontrar um número perfeito. No seu teorema consta que: se 2^k – 1 é um número primo, então 2^{k – 1} · (2^k – 1) é um número perfeito.

Então, sempre que encontrar um valor de k que satisfaz 2^k – 1, então podemos determinar (não com 100% de certeza) um número perfeito.

Não é todo valor de k que satisfaz as condições do teorema de Euclides, uma vez que se k não é um número primo, então 2^k – 1 é um número composto.

Usando o método de Euclides para a geração de números perfeitos, temos:

k = 2 → 2^k – 1 = 3 → 2^{k – 1} · (2^k – 1) = 6

k = 3 → 2^k – 1 = 7 → 2^{k – 1} · (2^k – 1) = 28

k = 5 → 2^k – 1 = 31 → 2^{k – 1} · (2^k – 1) = 496

k = 7 → 2^k – 1 = 127 → 2^{k – 1} · (2^k – 1) = 8 128

k = 13 → 2^k – 1 = 8 191 → 2^{k – 1} · (2^k – 1) = 33 550 336

k = 17 → 2^k – 1 = 131 071 → 2^{k – 1} · (2^k – 1) = 8 589 869 056

k = 19 → 2^k – 1 = 524 287 → 2^{k – 1} · (2^k – 1) = 137 438 691 328

Para k = 11 → 2^k – 1 = 2 047 = 23 · 89, ou seja, é um número composto.

Observando podemos notar algumas particularidades dos números perfeitos:

• Um número perfeito costumam terminar com 6 ou 28 e estes valores são precedidos por um dígito ímpar.
• Um número perfeito costuma ser também número triangular, que é um número obtido pela soma de “n” números naturais consecutivos, partindo de 1, por exemplo, 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + ··· + 28 + 29 + 30 + 31.

Para dar um passo adiante, cada número perfeito após 6 é a soma parcial da série: 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + ···, por exemplo, 28 = 1³ + 3³ e 496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³.

Você pode desafiar os seus alunos tentar encontrar as somas parciais para os próximos números perfeitos.

Não sabemos se existem números perfeitos ímpares, nenhum matemático encontrou ou conseguiu provar se existe ou não existe um número perfeito impar.

Atualmente utilizam-se computadores para procurar e encontrar números perfeitos, sim o teorema de Euclides pode ser aplicado mais facilmente.

Fonte: POSAMENTIER, Alfred S. Math Wonders: to inspire teachers and students. Association for Supervision and Curriculum Development Alexandria: Virginia USA, 2.003.

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