Por
que alguém iria querer encontrar a raiz quadrada de um número sem usar uma
calculadora? Certamente, ninguém faria tal coisa, exceto em casos extremos no
qual não se tenha a mão uma calculadora.
Apresentamos
um método simples (trabalhoso sim, mas de simples execução) para encontrar um valor próximo (o mais próximo que se deseja) de uma raiz quadrada, mas não entraremos na parte conceitual, somente nos
concentraremos na parte prática do método.
O
método foi publicado pela primeira vez em 1690 pelo matemático inglês Joseph
Raphson (ou Ralphson) em seu livro, Analysis
Alquationum Universalis, atribuindo-o a Newton, e, portanto, o algoritmo
leva os dois nomes, o Método de Newton–Raphson.
A
melhor forma de entender é observar na prática, utilizando como exemplo: suponha-se
que deseja encontrar √27.
Obviamente,
a calculadora seria o melhor método para ser usado aqui. No entanto, você professor
poderia introduzir o assunto aos seus alunos desafiando-os a adivinhar qual valor
poderia ser. Certamente a √27 está entre a √25 e a √36, ou entre 5 e 6, um
“bocadinho” mais perto de 5.
Suponha
que seja 5,2. Se esta suposição é a correta, então, ao dividir 27 por 5,2,
obteríamos 5,2, mas este não é o caso aqui, uma vez que √27 ≠
5,2.
Começa
então uma jornada em busca de uma maior aproximação. Para fazer isso, nós
encontramos 27 ÷ 5,2 ≈ 5,192 (comece com três casas decimais, mas nada impede
de utilizar mais casas decimais).
Logo
27 ≈ 5,2 · 5,192, um dos fatores (5,2, neste caso) deve ser maior do que √27 e
o outro elemento (5,192 neste caso) deve ser inferior a √27, assim, a √27 está ensanduichada
entre os dois números 5,2 e 5,192, isto é, 5,192 < √27 <5,2 de modo que é
plausível inferir que a média 5,196 é uma melhor aproximação para √27 do que 5,2
ou 5,192.
Este
processo continua, cada vez com mais casas decimais, de modo que um subsídio é
feito para uma maior aproximação, ou seja, (5,192 + 5,196) ÷ 2 = 5,196, então 27
÷ 5,194 = 5,19831, logo √27 ≈ 5,19831. Na calculadora a √27 ≈ 5,196152423...
Este
processo contínuo fornece luz sobre a conclusão da raiz quadrada de um número
que não é um quadrado perfeito.
Outro
exemplo suponha-se que deseja encontrar √73.
Sabemos que a √73 está entre a √64
e a √81, ou seja, entre 8 e 9. Vamos supor que a √73 é igual a média entre 8 e
9, ou seja, 8,5. Então 73 ÷ 8,5 ≈ 8,5882, logo 8,5 < √73 < 8,5882.
Continuando
o processo (8,5 + 8,5882) ÷ 2 = 8,5441, logo √73 ≈ 8,5441. Na calculadora a √73
≈ 8,544003745...
Atenção
nem sempre esta aproximação acontece de forma rápida, depende muito do valor
que é suposto inicialmente e quanto mais se repete o processo mais se aproxima
do valor da raiz procurada.
Fonte: POSAMENTIER,
Alfred S. Math Wonders: to inspire teachers and students. Association for
Supervision and Curriculum Development Alexandria: Virginia USA, 2.003.
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