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Mostrando postagens de Agosto, 2016

Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 14 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

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Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos


Se $\left ( 2,\, 3 \right )$ é o ponto da reta $r$ mais próximo de $\left ( 0,\, 0 \right )$, então a equação de r é
A) $5\cdot x + y −13 = 0$.
B) $8\cdot x − y −13 = 0$.
C) $11\cdot x − 3\cdot y −13 = 0$.
D) $2\cdot x + 3\cdot y −13 = 0$.

Solução: (D)
Se o ponto $P= \left ( 2,\, 3 \right )$ da reta $r$ está mais próximo de $O= \left ( 0,\, 0 \right )$ então $r$ é perpendicular a reta suporte do segmento $\overline{OP}$.
A Figura 1 apresenta uma análise do enunciado.

Sabemos que o produto do coeficiente angular de retas perpendiculares é $-1$, então:$m_{r}$ c
$m_{r}\cdot m_{\overline{OP}}=-1$
Calculando $m_{\overline{OP}}$:
$m_{\overline{OP}}=\frac{y_{P}-y_{O}}{x_{P}-x_{O}}=\frac{3-0}{2-0}=\frac{3}{2}$
$m_{r}\cdot \frac{3}{2}=-1$
$m_{r}=-\frac{2}{3}$
O valor negativo do coeficiente angular…

Questão 13 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

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Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos


Considere a representação, no plano de Argand-Gauss, do seguinte subconjunto do conjunto dos números complexos: $\left \{ z\in \mathbb{C};\left | z \right |< 1 \right \}$. Podemos afirmar que
A) esse subconjunto é representado pela região exterior a um círculo, com centro na origem e raio igual a 1.
B) esse subconjunto é representado pela região interior a um círculo, com centro na origem e raio igual a 1.
C) esse subconjunto é representado por um círculo, com centro na origem e raio igual a 1.
D) esse subconjunto é representado por uma circunferência, com centro na origem e raio igual a 1.

Solução: (B)
Seja $z=a+bi$ um número complexo onde $a,b\in \mathbb{R}$ e $i$ é a unidade imaginária.
O módulo de $z$ é dado por $\left | z \right |$ de tal forma que:
$\left | z \right |=\sqrt{a^{2…

Questão 12 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

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Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos


Se o sólido sombreado abaixo representa o tronco de um cone, então o seu volume é, em $cm^{3}$, igual a

A) $18 \pi$.
B) $16 \pi$.
C) $32 \pi$.
D) $28 \pi$.

Solução: (D)
O sólido sombreado é um tronco de cone.
Para resolver esta questão temos que calcular o volume do cone inteiro e subtrair o volume do cone menor (em branco na imagem).
Quando um plano corta um cone reto passando pelo vértice $V$ e pelo centro da base $O$, a face cortada apresenta a forma de um triângulo isósceles (vide Figura 1).

Analisando um corte realizado no cone reto do enunciado obtemos a Figura 2.

Observe que aplicando o teorema de Thales podemos determinar a medida do raio menor, seguindo a relação:
$\frac{R_{maior}}{h_{maior}}=\frac{R_{menor}}{h_{menor}}$
Onde: $R_{maior}$ é o raio da base do cone maior, ou seja, 4 …

Questão 11 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

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Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos


No triângulo retângulo $ABC$ da figura abaixo, a mediana $\overline{AM}$, relativa à hipotenusa, forma com a altura $\overline{AH}$ um ângulo de $20^{\circ}$. Os ângulos $\widehat{B}$ e $\widehat{C}$ medem, respectivamente:

A) $25^{\circ}$ e $75^{\circ}$.
B) $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$.
C) $35^{\circ}$ e $25^{\circ}$.
D) $20^{\circ}$ e $70^{\circ}$.

Solução: (C)
Nesta resolução devemos lembrar que:
(i) a mediana do triângulo retângulo, quando parte do ângulo reto, divide a hipotenusa em dois seguimentos congruentes a mediana, logo $\overline{CM}\equiv \overline{BM}\equiv \overline{AM}$;
(ii) a altura $\overline{AH}$ é perpendicular ao seguimento $\overline{BC}$;
(iii) a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$.
A Figura 1 apresenta os dados iniciais do enunciado:

No triân…

Questão 10 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

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Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos


Na figura abaixo, o quadrado de lado 1 cm está inscrito numa circunferência. Nessas condições, é CORRETO afirmar que o perímetro da região sombreada é, em cm, igual a

A) $\frac{\pi\: \sqrt{2}}{4}+1$.
B) $\frac{\pi}{2}+1$.
C) $\frac{\pi\: \sqrt{2}}{2}+1$.
D) $\frac{\pi}{4}+1$.

Solução: (A)
O perímetro, $P$, que devemos calcular é a soma do lado do quadrado com a quarta parte da circunferência em que o quadrado está inscrito.
Observe que o diâmetro da circunferência tem a mesma medida da diagonal $d$ do quadrado.
A diagonal do quadrado é igual a hipotenusa de um triângulo cujo catetos apresentam a medida do lado do quadrado (vide Figura 1).



$d=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$
O raio $r$ é metade do diâmetro, logo:
$r=\frac{\sqrt{2}}{2}$
A circunferencia mede $C=2\cdot \pi \cdot r$, desta forma t…

Questão 09 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

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Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos


Todas as afirmações abaixo são verdadeiras, EXCETO
A) $sen\: 30^{\circ}< cos\: 120^{\circ}$.
B) $cos\: 120^{\circ}< sen\: 150^{\circ}$.
C) $cos\: 180^{\circ}< sen\: 330^{\circ}$.
D) $sen\: 240^{\circ}< cos\: 300^{\circ}$.

Solução: (A)

Relembrando:


Arco       $30^{\circ}$           $45^{\circ}$           $60^{\circ}$       sen$\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cos$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ tan$\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$

Analisando cada alternativa:
A) $sen\: 30^{\circ}< cos\: 120^{\circ}$: Incorreta.

$sen\: 30^{\circ}< \left [cos\: \left (60^{\circ}+60^{\circ} \right ) \right ]$
$sen\: 30^{\circ}< \left [cos\: 60^{\circ}\cdot cos\: 60^{\circ}-sen\: 60^{\circ}\cdot sen\: 60^{\circ} \right ]$
$\frac{1}{2}< \left [ \frac{1…

Questão 08 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

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Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos


Numa progressão geométrica de razão negativa, o primeiro termo é igual ao triplo da razão, e a soma dos dois primeiros termos é $\frac{9}{4}$. Nessa progressão, a razão vale
A) $-\frac{2}{3}$.
B) $-\frac{1}{2}$.
C) $-\frac{5}{2}$.
D) $-\frac{3}{2}$.

Solução: (D)
Seja $r$ a razão desta progressão geométrica, sendo $a_{1}=3\cdot r$ então $a_{2}=a_{1}\cdot r=\left ( 3\cdot r \right )\cdot r=3\cdot r^{2}$
Realizando a soma de $a_{1}$ e $a_{2}$: $a_{1}+a_{2}$.
$3\cdot r+3\cdot r^{2}=\frac{9}{4}$
$r=\frac{-3\pm \sqrt{3^{2}-4\cdot 3\cdot \left (-\frac{9}{4} \right )}}{2\cdot 3}=\frac{-3\pm \sqrt{9+27}}{6}=\frac{-3\pm \sqrt{36}}{6}=\frac{-3\pm 6}{6}=\frac{-1\pm 2}{2}$
$r=\frac{-1\pm 2}{2}\rightarrow \left\{\begin{matrix} r_{1}=\frac{-1-2}{2}=-\frac{3}{2}\\ r_{2}=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2} \end{m…

Questão 07 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

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Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos


Considere $$ com $a>1$ e $f: \left ] 0,\, +\infty \right [\, \rightarrow \mathbb{R}$ uma função definida por $f\left ( x \right )=a^{x}$. Dados os pontos $A\left ( -2,\, 0 \right )$, $B\left ( 2,\, 0 \right )$, $C\left ( 2,\, f\left ( 2 \right ) \right )$, $D\left ( 0,\, f\left ( 0 \right ) \right )$ e $E\left ( -2,\, f\left ( -2 \right ) \right )$, é CORRETO afirmar que a área do polígono ABCDE vale
A) $a^{2}+a^{-2}+2$.
B) $a^{2}+a^{-2}+1$.
C) $\frac{a^{2}+a^{-2}+2}{2}$.
D) $\frac{a^{2}+a^{-2}+1}{2}$.

Solução: (A)
Segundo a Geometria Analítica podemos obter que a área do poligono ABCDE de dividindo este poligono e somando suas áreas, conforme aa relação:
$\acute{A}rea_{ABCDE}=\acute{A}rea_{ADE}+\acute{A}rea_{ABD}+\acute{A}rea_{BCD}$ 
$\acute{A}rea_{ABCDE}=\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatri…

Questão 06 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

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Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos


Considere $f: \left ] 0,\, +\infty \right [\, \rightarrow \mathbb{R}$ uma função definida por $f\left ( x \right )=log\: x$, e $b$ um número real maior do que 1. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a área do retângulo de vértices $\left ( b,\: f\left ( b \right ) \right )$, $\left ( 2b,\: f\left ( b \right ) \right )$, $\left ( 2b,\: f\left ( 2b \right ) \right )$ e $\left ( b,\: f\left ( 2b \right ) \right )$ vale
A) $b\: log\: x$.
B) $log\: 2$.
C) $b\: log\: 2$.
D) $log\: b$.

Solução: (C)
Segundo a Geometria Analítica temos que a área do quadrilátero é dado na relação:
$\acute{A}rea_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix} x_{A} & y_{A} & 1\\ x_{B} & y_{B} & 1\\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{vmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix} x_{A} & y_{A} &…

Questão 05 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

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Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos


Considere a circunferência de centro O e raio 2, e o triângulo ABC de altura $x$. Nessas condições, a área da região sombreada é a menor possível quando $x$ for igual a

A)$1$.
B)$\frac{1}{2}$.
C)$\frac{1}{4}$.
D)$2$.

Solução: (D)
Observe que a área da região sobreada é obtida subtraindo a área do triângulo ABC da meia-circunferencia de raio 2.
Desta forma quanto maior a área do triângulo, menor a área sombreada.
A área do triângulo ABC é obtido pela fórmula:
$A_{\Delta ABC}=\frac{base\cdot altura}{2}$
A medida da base $\overline{AB}=2\cdot raio=4$ e a medida da altura é $x$, conforme o enunciado:
$A_{\Delta ABC}=\frac{\overline{AB}\cdot x}{2}=\frac{4\cdot x}{2}=2\cdot x$
Desta forma podemos observar que a área do triângulo ABC depende apenas da medida de $x$.
Observe que o triângulo ABC, e…

Questão 04 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

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Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos


Considere $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ duas funções definidas por $f\left ( x \right )=a_{1}\cdot x+b_{1}$ e $ g\left ( x \right )=a_{2}\cdot x $, nas quais $a_{1}$, $a_{2}$ e $b_{1}$ são números reais tais que $a_{1} < a_{2}$. Nessas condições,$f\left ( x \right )\geqslant g\left ( x \right )$ quando
A)$x> \frac{-b_{1}}{a_{1}-a_{2}}$
B)$x\leq \frac{b_{1}}{a_{2}-a_{1}}$
C)$x\leq \frac{-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}$
D)$x> \frac{-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}$

Solução: (B)
Iniciando em $f\left ( x \right )\geqslant g\left ( x \right )$, obtemos:
$a_{1}\cdot x+b_{1}\geq a_{2}\cdot x $
$a_{1}\cdot x-a_{2}\cdot x\geq -b_{1}$
$\left (a_{1}-a_{2} \right )\cdot x\geq - b_{1}$
Se $a_{1} < a_{2}$, obtemos:
$-\left (a_{2}-a_{1} \right )\cdot x\geq - b_{1}$

Questão 03 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

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Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos


Na figura a seguir está representado o gráfico de uma função $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$.
Se $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ é uma função definida por $g\left ( x \right )=1-f\left ( x \right )$ então o esboço do gráfico da função $g$ é
A) B) C) D)

Solução: (C)
Observe que inicialmente $f\left ( x \right )$ é uma função constante e que vale 2 (vide Figura 1), então:

$f\left ( x \right )=2$
$g\left ( x \right )=1-f\left ( x \right )=1-2=-1$
Logo inicialmente o gráfico de $g\left ( x \right )$ estará abaixo do eixo das abscissas.
Se $x = 2$ temos $f\left ( 2 \right )=0$ (vide Figura 2), logo calculando $g\left ( 2 \right )$, obtemos:

$g\left ( 2 \right )=1-f\left ( 2 \right )=1-0=1$
Então o gráfico de $g\left ( x \right )$ estará acima do eixo das abscissas.
Logo a altern…

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