Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos
Se o sólido sombreado abaixo representa o tronco de um cone, então o seu volume é, em $cm^{3}$, igual a
A) $18 \pi$.
B) $16 \pi$.
C) $32 \pi$.
D) $28 \pi$.
Solução: (D)
O sólido sombreado é um tronco de cone.
Para resolver esta questão temos que calcular o volume do cone inteiro e subtrair o volume do cone menor (em branco na imagem).
Quando um plano corta um cone reto passando pelo vértice $V$ e pelo centro da base $O$, a face cortada apresenta a forma de um triângulo isósceles (vide Figura 1).
 |
| Figura 1: Triângulo Isóscele obtido quando um plano corta um cone reto passando pelo vértice $V$ e pelo centro da base $O$. |
Analisando um corte realizado no cone reto do enunciado obtemos a Figura 2.
 |
| Figura 2: Análise da face cortada do cone apresentado no enunciado. |
Observe que aplicando o teorema de Thales podemos determinar a medida do raio menor, seguindo a relação:
$\frac{R_{maior}}{h_{maior}}=\frac{R_{menor}}{h_{menor}}$
Onde: $R_{maior}$ é o raio da base do cone maior, ou seja, 4 cm; $h_{maior}$ é a altura do cone maior, ou seja, 6 cm; $R_{menor}$ é o raio do cone menor, que precisamos determinar e $h_{menor}$ é a altura deste cone menor que mede 3 cm.
$\frac{4}{6}=\frac{R_{menor}}{3}$
$R_{menor}=2$
O volume do cone é dado pela fórmula:
$V_{cone}=\frac{1}{3}\cdot \acute{A}base \cdot altura$
$V_{cone}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot R^{2} \cdot h$
Desta forma o volume do tronco de cone sobreado na imagem do enunciado é:
$V_{tronco \: c\hat{o}nico}=V_{cone\: maior}-V_{cone\: menor}$
$V_{tronco \: de \: cone}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left (R_{maior} \right )^{2} \cdot h_{maior}-\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left (R_{menor} \right )^{2} \cdot h_{menor}$
Substituindo os valores e calculando, obtemos:
$V_{tronco \: de \: cone}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4^{2} \cdot 6-\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^{2} \cdot 3=32\cdot \pi-4\cdot \pi=28\cdot \pi$
Outra forma de resolver é lembra que a fórmula do volume de um tronco de cone é:
$V_{tronco \: de\: cone}=\frac{\pi \cdot h}{3}\cdot \left [ \left (R_{maior} \right )^{2}+(R_{maior})\cdot \left ( R_{menor} \right )+\left (R_{menor} \right )^{2} \right ]$
Onde $h$ é a distância entre os centros da base menor e da base maior.
Calculando, obtemos:
$V_{tronco \: de\: cone}=\frac{\pi \cdot 3}{3}\cdot \left [ \left (4 \right )^{2}+(4)\cdot \left ( 2 \right )+\left (2 \right )^{2} \right ]=\pi \cdot \left [ 16+8+4 \right ]=\pi \cdot 28= 28\cdot \pi$
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
Comentários