Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas. A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas. O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações. Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra , Geometria Analítica , Funções e Trigonometria . Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas. Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sem

Questão 06 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 1° Semestre de 2.007


Um trecho do rio Tranqüilo, com margens retilíneas e paralelas, atravessa uma região plana. A casa de Bruno fica na margem esquerda do rio Tranqüilo, e na margem direita desse rio ficam a casa de Camila e o armazém “Tem de Tudo”. Bruno sabe que a largura do rio Tranqüilo é de 21 metros e que as distâncias entre a sua casa e a casa de Camila, entre a sua casa e o armazém e entre a casa de Camila e o armazém são iguais.



Em um certo dia, Bruno sai de sua casa, vai até o armazém, depois vai direto até a casa de Camila e volta para casa, realizando sempre os menores trajetos possíveis, sem obstáculos e não passando por nenhum outro lugar. Considerando todas as construções localizadas na beira do rio, quando retornou à sua casa, Bruno calculou que a distância percorrida nesse dia foi, em metros, de


(A)$42\; \sqrt{3}$.

(B)$35\; \sqrt{3}$.

(C)$28\; \sqrt{3}$.

(D)$21\; \sqrt{3}$.

(E)$7\; \sqrt{3}$.


Solução: (C)


Segundo os dados do enunciado e considerando que as casas e o armazém estão próximos a margem do rio podemos obter a Figura 1.


Observe que os pontos que representam a $Casa_{Bruno}$, a $Casa_{Camila}$ e o $Arm_{Tem\; de \; Tudo}$ formam um triângulo equilátero, pois as distâncias entre estes locais são iguais.


Figura 1: Análise inicial do enunciado.


A largura do Rio Tranqüilo representa a altura deste triângulo. Observe a Figura 2 a forma como se obtemos a distância $d$ entre os pontos.


Figura 2: Forma de se obter a distância entre os pontos.


Na prática podemos obter o valor de $d$ de duas formas:


(i) aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelos pontos $Casa_{Bruno}$, $Casa_{Camila}$ e $H$.


$d^{2}=21^2+\left ( \frac{d}{2} \right )^2$


$d^{2}=21^2+\frac{d^{2}}{2^{2}}$


$d^{2}-\frac{d^{2}}{4}=441$


$\frac{3\cdot d^{2}}{4}=441$


$3\cdot d^{2}=1764$


$d^{2}=588\Rightarrow d=\sqrt{588}=14\cdot \sqrt{3}$


(ii) utilizando a relação trigonométrica do cosseno no $Casa_{Bruno}$, $Casa_{Camila}$ e $H$ utilizando o seno do ângulo $60^{\circ}$.


$seno \left ( 60^{\circ} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}$


$seno \left ( \hat{a}ngulo \right )=\frac{cateto\; oposto}{hipotenusa} \Rightarrow seno \left ( 60^{\circ} \right )=\frac{21}{d}$


$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{21}{d}$


$d=\frac{42}{\sqrt{3}}\Rightarrow d=\frac{42}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{42\cdot \sqrt{3}}{3}=14\cdot \sqrt{3}$


A distância total que Bruno percoreu é igual a $3\cdot d$, pois segundo o enunciado Bruno sai de sua casa, vai até o armazém, percorrendo $d$; depois vai direto até a casa de Camila, percorrendo $d$ e volta para casa, percorrendo $d$, realizando sempre os menores trajetos possíveis, sem obstáculos e não passando por nenhum outro lugar.


$d_{total}=3\cdot d = 3\cdot 14\cdot \sqrt{3}=42\cdot \sqrt{3}$



***

Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!







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