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Mostrando postagens de Outubro, 2016

Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 23 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 1° Semestre de 2.008 Extemporâneo

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Calcule o valor de $\mathbf{B} $, sabendo-se que:
$\mathbf{B} =\left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right ) \cdot \left ( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right )$

(A) $\mathbf{B} =2$
(B) $\mathbf{B} =\sqrt{34}$
(C) $\mathbf{B} =2+\sqrt{15}$
(D) $\mathbf{B} =8+\sqrt{15}$
(E) $\mathbf{B} =16$


Solução: (A)


A resolução fica mais fácil se lembrar da fatoração por "Diferença de Quadrados": $x^{2}-y^{2}=\left ( x-y \right ) \cdot \left ( x+y \right )$.

Nesta questão vamos utilizar de forma inversa: $\left ( x-y \right ) \cdot \left ( x+y \right )=x^{2}-y^{2}$.

Resolvendo:

$\left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right ) \cdot \left ( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right )=\left ( \sqrt{5} \right )^{2}-\left ( \sqrt{3} \right )^{2}=5-3=2$

Logo: $\mathbf{B} =2$.

No caso em que se lembre da fatoração por "Diferença de Quadrados" a resolução fica mais longa, utilizando a propriedade da distributiva da multiplicação, e pode ocorrer erros devido a falta de atenção:

$\left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right ) \cdot \left ( \sqrt{5}…

Questão 22 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 1° Semestre de 2.008 Extemporâneo

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Calcule o valor de $\mathbf{A} $, sabendo-se que:
$\mathbf{A} = 10^{4} + 2 \; \cdot \; 10^{3} - 6 \; \cdot \; 10^{2} - 17 \; \cdot \; 10^{1} + 10^{0}$

(A) $\mathbf{A} = 12.780$
(B) $\mathbf{A} = 12.771$
(C) $\mathbf{A} = 11.240$
(D) $\mathbf{A} = 11.231$
(E) $\mathbf{A} = 11.230$


Solução: (D)


Resolvendo temos:

$\mathbf{A} = 10^{4} + 2 \; \cdot \; 10^{3} - 6 \; \cdot \; 10^{2} - 17 \; \cdot \; 10^{1} + 10^{0}$

Sabemos que:

$\left\{\begin{matrix} 10^{4}=10 \times 10 \times 10 \times 10=10.000 \\ 10^{3}=10 \times 10 \times 10 =1.000 \\ 10^{2}=10 \times 10 =100 \\ 10^{1}=10 \\ 10^{0}=1 \end{matrix}\right.$

Logo:

$\mathbf{A} = 10.000 + 2 \; \cdot \; 1.000 - 6 \; \cdot \; 100 - 17 \; \cdot \; 10 + 1=10.000+2.000-600-170+1=11.231$

Assim $\mathbf{A} = 11.231$.


***

Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!





Questão 21 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 1° Semestre de 2.008 Extemporâneo

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Uma operadora de telefonia celular possui um plano básico do tipo pós-pago, cuja tarifa é composta de uma mensalidade fixa de R\$ 35,00 e mais R\$ 0,89 por minuto utilizado. Qual será o gasto mensal de um usuário, caso sejam utilizados 210 minutos?

(A) R\$ 35,00
(B) R\$ 186,90
(C) R\$ 221,90
(D) R\$ 256,90
(E) R\$ 408,80


Solução: (C)


A tarifa mensal de um usúário é a soma do custo fixo, que neste caso é de $R\$ \; 35,00$, com o custo variável que neste caso, sendo $m$ a quantidade mensal de um usuário (em minutos), então o custo variável é $R\$ \; 0,89 \; \cdot \; m$. Assim:

$T= \left ( custo\; fixo \right )+\left ( custo\; vari\acute{a}vel \right )$

$T=R\$ \; 35,00 + R\$ \; 0,89 \; \cdot \; m$

Sendo $m=210$, temos:

$T=R\$ \; 35,00 + R\$ \; 0,89 \; \cdot \; 210=R\$ \; 35,00 + R\$ \; 186,90=R\$ \; 221,90$

A taxa que o usuário deve pagar neste mês é de $R\$ \; 221,90$.


***

Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!





Questão 20 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 1° Semestre de 2.008 Extemporâneo

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Manuelito comprou um piscina para seus filhos se refrescarem no verão. A piscina possui 5,00 metros de comprimento (C), 3,00 m de largura (L) e 1,20 m de altura (A). Quantos litros de água são necessários para enchê-la totalmente?

Dado: $1\; dm^{3}$ = $1\; l$



(A) $9,2\; l$.
(B) $18\; l$.
(C) $9.200\; l$.
(D) $16.200\; l$.
(E) $18.000\; l$.


Solução: (E)


Inicialmente devemos determinar o volume, $V$, da piscina:

$V=largura \times altura \times comprimento=L \times A \times C$

Observe que as alternativas estão na unidade de medida litros, $l$ e que o enunciado diz que $1\; dm^{3}$ = $1\; l$, o $dm^{3}$ significa decímetros cúbicos. Sendo as medidas da piscina em metros, $m$, é mais simples converter metros para decímetros.

Para lembrar da conversão das unidades de medidas observe a Figura 1:



Para realizar esta conversão basta multiplicar o valor em metros por dez, assim:

$\left\{\begin{matrix} A=1,20\; m \times 10 = 12,00 \; dm\\ L=3,00\; m \times 10 = 30,00 \; dm\\ C=5,00\; m \time…

Questão 19 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 1° Semestre de 2.008 Extemporâneo

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O Imposto sobre a Propriedade de Veículos Automotores (IPVA), cobrado no início de cada ano, corresponde a 4% do valor de tabela dos veículos movidos a gasolina e a 3% do valor de tabela dos veículos movidos a álcool. Sabendo-se que João pagará R\$ 1.015,88 de IPVA de seu veículo movido a gasolina, qual o valor de tabela do mesmo?


(A) R\$ 25.397,00.
(B) R\$ 30.476,40.
(C) R\$ 33.862,67.
(D) R\$ 40.635,20.
(E) R\$ 71.111,60.

Solução: (A)

Sendo $x$ o valor da tabela, e o carro movido a gasolina (4%) temos que:

$4\% \; de \; x =R\$ \; 1.015,88 $

Resolvendo obtemos:

$4\% \; de \; x =R\$ \; 1.015,88 $

$4\% \; de \; x =R\$ \; 1.015,88\Rightarrow \frac{4}{100} \; \cdot \; x=1.015,88$

$x=\frac{1.015,88 \; \cdot \; 100}{4}=\frac{101.588}{4}=25.397$

Então o preço de tabela é de R\$ 25.397,00.

Outra forma de pensar é considerar uma "regra de três", onde $4\%$ equivale a $R\$\; 1.015,88$ e $100\%$ equivale a $x$, observe:

$\%$ $R\$$ $4$           $1.015,88$                    $100$������…

Questão 18 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 1° Semestre de 2.008 Extemporâneo

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Quando transformamos uma fração em numeral decimal, podemos obter um decimal exato, isto é, um numeral que tem um número finito de algarismos ou uma dízima periódica, isto é, um numeral formado por infinitos algarismos que se repetem periodicamente. Neste caso, quando uma fração é equivalente a uma dízima periódica, dizemos que a fração é a geratriz da dízima.


Desta forma, a fração geratriz da dízima periódica 0,333... equivale a:

(A) $\frac{3}{30}$.
(B) $\frac{30}{10}$.
(C) $\frac{3}{10}$.
(D) $\frac{10}{3}$.
(E) $\frac{1}{3}$.

Solução: (E)

A dizima periódica 0.333... é uma dízima periódica simples, visto que o período (ou seja, o número que se repete) apresenta-se logo após a vírgula.

Para encontrar a fração geratriz consideramos uma fração que tem o numerador formado pelo período da dízima, e o denominador formado por tantos noves quanto os algarismos que formam o período da dízima.

Na dízima periódica $0,333...$ o período é $3$, formado por apenas um algarismo, assim:

$0,333...=…

Questão 17 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 1° Semestre de 2.008 Extemporâneo

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Joana, proprietária de uma empresa, foi ao mercado comprar biscoitos salgados e doces para presentear seus funcionários no Natal. O pacote de biscoitos salgados custava R\$ 3,50 e o pacote de biscoitos doces custava R\$ 2,20. No total, Joana gastou R\$ 120,50 e comprou 40 pacotes de biscoitos. Quantos pacotes de biscoitos salgados e quantos pacotes de biscoitos doces Joana comprou, respectivamente:


(A) 15 e 25.
(B) 25 e 15.
(C) 20 e 20.
(D) 16 e 24.
(E) 24 e 16.

Solução: (B)

Considerando $S$, o número de pacotes de biscoito salgado e $D$, o número de pacotes de biscoito doce.

Segundo o enunciado temos: " (...) pacote de biscoitos salgados custava R\$ 3,50 e o pacote de biscoitos doces custava R\$ 2,20 (...) ". Desta forma o total gasto na compra de pacotes de biscoito salgado foi de $R\$ \; 3,50 \; \times \; S$ e o total gasto na compra de pacotes de biscoito doce foi de $R\$ \; 2,20 \; \times \; D$.

" No total, Joana gastou R\$ 120,50 (...) ", isso significa que:

$…

Questão 16 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 1° Semestre de 2.008 Extemporâneo

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As redes são usadas nas traves de futebol para impedir a passagem da bola e, desta forma, facilitar a identificação do gol. Considerando a ilustração abaixo, quantos metros quadrados de rede são necessários para cobrir essa trave de futebol?



Dado:
Retângulos $ABCD$ e $BCEH$;
Os trapézios $ABEF$ e $CDGH$ são congruentes.

(A) 28,426 m2.
(B) 31,598 m2.
(C) 31,598 m.
(D) 51,56 m2.
(E) 51,56 m.

Solução: (B)

Lembre-se que a área em questão tem como unidade o $m^{2}$, logo podemos descartar as alternativas (C) e (E).


O termo "congruente" citado no enunciado significa igual.


A questão pode ser resolvida de forma mais prática conhecendo a expressão matemática utilizada para se calcular a área do retângulo e a área do trapézio.


$A_{ret\hat{a}ngulo}=lado_{maior}\; \times \; lado_{menor}$

$A_{trapezio}=\frac{\left [lado_{maior}\; + \; lado_{menor} \right ]\; \times \; altura}{2}$

Lembrando que no trapézio o $lado_{maior}$ é paralelo ao $lado_{menor}$.

Analisando a imagem do enunciado pod…

Questão 45 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 2° Semestre de 2.007

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Apesar de toda a tecnologia aplicada no desenvolvimento de combustíveis não poluentes, que não liberam óxidos de carbono, a bicicleta ainda é o meio de transporte que, além de saudável, contribui com a qualidade do ar.


A bicicleta, com um sistema constituído por pedal, coroa, catraca e corrente, exemplifica a transmissão de um movimento circular.



Pode-se afirmar que, quando se imprime aos pedais da bicicleta um movimento circular uniforme,

I. o movimento circular do pedal é transmitido à coroa com a mesma velocidade angular.

II. a velocidade angular da coroa é igual à velocidade linear na extremidade da catraca.

III. cada volta do pedal corresponde a duas voltas da roda traseira, quando a coroa tem diâmetro duas vezes maior que o da catraca.

Está correto o contido em apenas

(A)I.
(B)II.
(C)III.
(D)I. e III.
(E)II. e III.

Solução: (D)

Analisando as alternativas

I. o movimento circular do pedal é transmitido à coroa com a mesma velocidade angular.
O pedal transmite a força de giro para o cent…

Questão 44 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 2° Semestre de 2.007

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Para combater o desperdício do consumo de energia elétrica e reduzir os impactos ambientais, a Associação Brasileira de Normas Técnicas recomenda às empresas de aparelhos elétricos que indiquem a potência e a respectiva voltagem nos aparelhos por elas produzidos. Considere um conjunto composto por um computador, uma impressora e um estabilizador, simultaneamente ligados a uma fonte de tensão de 120 V, e com potência média de 180 W. A energia elétrica mensal consumida pelo conjunto, em kWh, ligado durante 3 horas por dia é


Dados:
$1\; kW = 1.000\; W$
$1\; kWh = 1\; kW \; \cdot \; 1\; h$

(A) 3,6.
(B) 5,4.
(C) 10,0.
(D) 16,2.
(E) 19,8.

Solução: (D)

Segundo o enunciado temos uma potência média, $P_{M}$ de $180\; W$, sendo utilizado durante $3\; h/dia$ no periodo de $30\; dias$. Então o energia elétrica mensal, $E_{mensal}$, será de:

$E_{mensal}=\left [180\; W \right ] \times \left [3\; \frac{h}{dia} \right ] \times \left [30\; dias \right ]=16.200\; W \cdot h$

Sendo $1\; kW = 1.000\…

Questão 42 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 2° Semestre de 2.007

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A poluição causada pelo som é um dos maiores problemas ambientais da vida moderna e se dá por meio do ruído, que é o som indesejável. Segundo a Organização Mundial da Saúde, o limite tolerável ao ouvido humano é de 65 dB. Acima disso, nosso organismo sofre estresse, o qual aumenta o risco de doenças. Com ruídos acima de 85 dB aumenta o risco de comprometimento auditivo. Essa situação pode ser revertida aplicando-se as tecnologias de controle, que desenvolvem produtos específicos, recursos para identificação e análise das fontes de ruído, objetivando a previsão de sua redução por meio de programas de simulação e o desenvolvimento de máquinas menos ruidosas.

(Adaptado de: http://www.ambientebrasil.com.br acessado em: fev. 2007.)

Assinale a alternativa cujas palavras completam correta e respectivamente a frase a seguir.



O aparelho capaz de medir o nível de intensidade _____________ é denominado ______________ e mede, precisamente, áreas de ruídos e outros níveis de som.



(A) ruidosa – ca…

Questão 40 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 2° Semestre de 2.007

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O acesso a um edifício é feito por uma escada de dois degraus, sendo que cada um tem 16 cm de altura. Para atender portadores de necessidades especiais, foi construída uma rampa.


Respeitando a legislação em vigor, a rampa deve formar, com o solo, um ângulo de $6^{\circ}$, conforme figura.

Dados:
$sen\; 6^{\circ}=0,10$
$cos\; 6^{\circ}=0,99$



A medida c do comprimento da rampa é, em metros, igual a

(A) 1,8.
(B) 2,0.
(C) 2,4.
(D) 2,9.
(E) 3,2.

Solução: (E)

Segundo os dados e a imagem do enunciado obtemos a Figura 1.



Observe o triângulo $ACB$, reto em $C$. Sabemos que o seno de um ângulo $\theta$, é obtido segundo a expressão:

$sen \left ( \theta \right )=\frac{cateto\; oposto}{hipotenusa}$

No triângulo $ACB$: $ \theta =6^{\circ}$; $sen \left (6^{\circ} \right )=0,10$; $cateto\; oposto=\overline{BC}=32\; cm$ e $hipotenusa=\overline{AB}=c$, assim:

$sen \left (6^{\circ} \right )=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} \Rightarrow 0,10=\frac{32}{c}$

$c=\frac{32}{0,10}=320\; cm$

Portanto $…

Latex Editor (Equações Matemáticas)

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